Re: [代數] 方程式解的個數

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《Srink (鎖住)》之銘言：
: 證明: 一元N次方的實數方程式就有N個解
: 一元2次方有2個解
: 一元3次方有3個解
: 故得證
: 不是這樣到吧＝ ＝
: 可是以前數學老師就這樣教
: 到底為啥一元N次方的實數方程式就有N個解？
當然不是如此證明
首先必須說明一下這邊的解必須是在複數的範圍裡說
因為不一定會有實數解
精確的敘述是一個複數係數的一元N次多項式有N個複數根(k重根視為k個根)
這個敘述是下面這個定理的結果
代數學基本定理：任何一個複數係數的一元N次多項式至少有一個複數根
因為如果有一個複數根 a，我們知道其有因子 x-a
原多項式除以 x-a 會得到 N-1 次多項式，
如此做下去，我們就有 N 個根
至於那個基本定理怎麼證，高斯曾經給出 4 個證明
念過複變的人也應該讀過證明，而且可能還不只一種證法
好像也可用拓樸學的方法證
據說用 Galois 理論配合一些簡單的微積分(中間值定理)也可以證明
但是似乎沒聽過初等證明
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◆ From: 220.137.133.157
※ 編輯: dogy007         來自: 220.137.133.157      (10/23 13:31)
推 jacky7987   :複變上可以直接證明 可以用魯謝定理(我只聽過這兩個)
推 jacky7987   :而且Galois是天才阿(笑
推 sarsenwen   :thanks
推 hcsoso      :Hatcher 代數拓撲上的證明也蠻可愛的!
推 sssn1       :整早上都在圖書館不務正業看Abel&Galois的悲慘故事..
推 jacky7987   :老師也愛說Galois 19歲為愛決鬥XDDD
Galois 的決鬥事件其實充滿懸疑，有一種說法是該女是法國政府的間諜，
她的目的其實就是在挑動 Galois 和其他反政府人士的矛盾，
因此促成 Galois 和他人的決鬥，因而導致 Galois 的死亡
Galois 本身對政治的參與可能是整個悲劇的原因
※ 編輯: dogy007         來自: 220.137.133.157      (10/23 17:40)