※ 引述《chien0525 (雙子男)》之銘言：
: 題目是
: Find the value of
: ∞ 1
: ∫ －－－－－ dx where n is a positive integer.
: 0 2 2 n
: (x + a )
: 2
: 我是先設 x = a tanx dx = a sec x dx
: 不過最後還是卡再那個n項...
: 請會的大大幫忙解答
: 多多指教
有人說得不到答案，所以大略寫一下，積分上下界就不寫了，一些常數也懶得寫
原積分可以化成 I_(2n-2) = Integral (cosx)^(2n-2) dx 的形式
I_n = Integral (cosx)^n dx
=(sinx)(cosx)^(n-1)+ (n-1) Integral (sinx)^2 (cosx)^(n-2) dx
=(sinx)(cosx)^(n-1)+ (n-1) Integral (cosx)^(n-2) dx
- (n-1)Integral(cosx)^n dx
= (sinx)(cosx)^(n-1) + (n-1)I_(n-2) - (n-1)I_n
所以我們可以得到 I_n 的遞迴關係，所以只要算出 I_1, I_2
自然可以算出所有的 I_n
(sinx)^n 的積分也可以用同樣的方式得到
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.132.177.99
※ 編輯: dogy007 來自: 220.132.177.99 (10/27 10:31)
※ 編輯: dogy007 來自: 220.132.177.99 (10/27 10:52)