Re: [微積] 高微習題兩題

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《pacificajo ()》之銘言：
: 1.
: 給定平面上兩有界領域A,B，試證：存在一直線L同時等分A,B面積（假設A,B的面積可測）
: 這題不清楚要從哪一個部份下手
: 2.f在[0,1]上可導，f'(0)=0 ，f'(1)=1 ，試證：找得到一點 a在（0,1）
: 使得  f（a）＝ 1/2
: 題目給說未知f'是否連續，但我看起來這個要證明的性質，
: 不連續的話似乎就沒辦法證明了。（我不確定）
: 想問說，是可以證明f'在（0,1）之間連續
: 還是，在不連續的情況下依然可以證明這件事。
: 麻煩大家了
1. 看起來是中間值定理的運用，不過似乎有些複雜或需要某種技巧，還沒想到
2 倒是不需要 f' 連續
因為  lim (f(h)-f(0))/h = 0, lim (f(1-h)-f(1))/(-h) = 1
所以存在 1/2 > h > 0,滿足 (f(h)-f(0))/h < 1/3, (f(1-h)-f(1))/(-h) >  2/3
考慮 g(x) = (f(x+h)-f(x))/h, g 在 [0,1-h] 可微分
g(0) < 1/3, g(1-h) > 2/3
由中間值定理我們得到存在 b in (0, 1-h),  g(b)=1/2
這表示 (f(b+h)-f(b))/h = 1/2
但由均值定理，我們知道存在 a in (b,b+h) 使得
 f'(a) = (f(b+h)-f(b))/h = 1/2

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◆ From: 220.132.177.99
→ dogy007     :附註 2 表示函數的微分就算不連續，
→ dogy007     :但還是滿足某種形式的中間值定理
→ dogy007     :這點對於我們處理某些問題時有幫助
→ favoright   :題目欲證"f(a)=1/2"
→ dogy007     :哈，忘了提，原 po 顯然打錯題目,  應該是 f'(a)=1/2
→ dogy007     :否則 f(x) = 1 + x^2/2 是反例
→ suhorng     :f'的話, Darboux's Theorem?
→ dogy007     :對的，好像叫 Darboux's Theorem
→ dogy007     :記得讀微積分時，好像教授把這個當習題了
推 pacificajo  :感謝！