來點更深入的探討好了 畢竟很多網頁與書籍都過度解釋了"賭場優勢"的意義
不信大家可以google一下
以上面的例子很多人都會誤解成""賭場優勢為5.26% 而玩家的優勢為-5.26%""
後一句是正確的 但是前一句就有錯了 應該是0.15%
若硬要解釋前一句
正確的說法應該是"每玩一次相對於玩家的單位成本 賭場具有5.26%的期望報酬"
這樣才正確
我研究了好久才發現會造成這種誤解主要是因為賭場優勢中
對於賭場的單位成本通常不容易計算
所以很多人才會直接拿玩家的單位成本去解釋賭場優勢
在這之中沒有說清楚就容易造成誤會了
數學優勢衡量了單位成本(風險)下的報酬 其實就是報酬率的意思
因此我們可以證明以下：(可以直接看結果...過程不難但符號很煩)
若考慮閒家(player)與莊家(banker)具有對立MA，則賽局不必定是公平賽局。
(注意：並非對立的E(R))
令MAp=閒家數學優勢 MAb=莊家數學優勢
則MAp+MAb=0=E(R)p/Lp+E(R)b/Lb =>E(R)p*Lb+E(R)b*Lp=0 ...(eq1)
在每一次事件中
設PGp=閒家贏的機率=PLb=莊家輸的機率 且PLp=閒家輸的機率=PGb
Gp=閒家的獲利=Lb=莊家的損失 Gb=莊家的獲利=Lp=莊家損失 PGb+PLb=1
...(eq2,3,4,5,6)
則我們可以利用上面的關係導出(全化為PGb)
{(1-PGb)x^2-x+PGb}/PGbx=0 ...(eq7)
其中x=Lb/Gb
由(eq7)分母得知PGb*(Lb/Gb)-->oo的要素為 首先1>PGb>0, 使得Lb/Gb-->oo
則Lb必須=oo或Gb必須=0 因此分母無貢獻結果
(eq7)分子=0時
由公式解可以得到兩個答案 x=Lb/Gb=1 或x=Lb/Gb=PGb/(1-PGb)=PGb/PGp
第一個答案說Lb=Gb 則莊家的單位成本需等於單位獲利
這也使得閒家的單位成本需等於單位獲利Lp=Gp
最後得到Lp=Gp=Lb=Gb 此為充分非必要條件 ....(eq8)
第二個答案Lb/Gb=PGb/PGp ==>LbPGp=GbPGb ==>GpPGp=GbPGb ==>E(G)p=E(G)b
同樣可以得到E(L)p=E(L)b 其中E(G),E(L)表期望獲利與損失
又E(G)p=PGp*Gp=(PLb)*Lb=E(L)b
最後得到E(G)p=E(G)b=E(L)p=E(L)b 此為充分非必要條件 ....(eq9)
最後 由(eq9)可得E(R)b=E(R)p 但又E(R)b+E(R)p=0 使得E(R)b=E(R)p=0 ...(eq10)
此為充分非必要條件
(eq10)說明MA相同情況下公平賽局(E(R)=0)是一個條件
而在所有單位成本與獲利相同情況下 也可能讓MA對立
以美式輪盤為例 玩家Lp=1改成Lp=35 獲利為Gp=35 使得Lb=35 Gb=35
在機率不等的情況下 MAp=E(R)p/Lp=[(1/38)*35-(37/38)*35]/35=-36/38
MAb=E(R)b/Lb=36/38
因此MAp與MAb對立 上面的case可能不大好 因為成本與獲利原始設計差很大
最後結論 在公平賽局中 MA必然對立且都為0 (因為E(R)b=E(R)p=0)
在不公平賽局中 若玩家成本與獲利相等下 MA必定對立
寫到這邊一直覺得上面的很多東西根本沒用 好像導因為果(回去檢查@@ 好像沒有)
但其實我想是有用處的
主要還是因為風險報酬率的概念很容易讓人搞混
在玩家與莊家具有相同的單位成本時 期望報酬率不一定對立
只有在玩家自己具有相同的單位成本與獲利時 期望報酬率才對立
當有一個遊戲是遊戲者可以當玩家 也可以當莊家
此時這個遊戲者就具有相同的單位成本(他的賭金是固定的)
那麼這個對立的MA應用在遊戲策略上應該是有貢獻的
(畢竟MA本來就只是衡量單一事件的算術平均報酬率)
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