Re: [微積] 收斂半徑與Ratio test的問題

[PaulErdos (My brain is open)]

※ 引述《dogy007 (dogy007)》之銘言：
: ※ 引述《pentiumevo (數學系最不靈光的人)》之銘言：
: : 讀微積分時，一般要算收斂半徑是用Ratio test
: : 用了Ratio test找到冪級數在哪絕對收斂後，再判斷端點是否收斂，這樣就找到了
: : 收斂區間與收斂半徑。
: : 現在如果是反過來的情形：已知收斂半徑與收斂區間，那我能對Ratio test說出什麼？
: : 我猜不能說什麼，大概也不能說Ratio test的結果是1/R
: : 但我想不出一個反例可以否定上面的問題
: : 可否幫我想個反例呢？
: : 或是說，我其實是錯的XD
: : 更明確的說：是否可以找到一個冪級數收斂半徑是R，但其Ratio test的結果不為1/R
: : 麻煩各位了，謝謝。
: 原 Po 希望我寫詳細一點
: 我們可以找到例子 ratio test 下，無法弄出收斂半徑，
: 譬如說 sum a_n x^n, a_n = 1 for n even, a_n = 1/n n odd
: 這個級數 因為    1/n <= |a_n| <= 1
: 但 sum (1/n) x^n, 及 sum x^n 收斂半徑都是 1
: 所以 不難推知 sum a_n x^n 收斂半徑也是 1
: 但使用 ratio test,  lim |a_(n+1) /a_n| 並不存在



ratio test  (以及root test)

比較好的版本是用 limsup 及 liminf 的說法

          a
           n+1
limsup │───│＜ 1     converges
n→∞     a
           n

          a
           n+1
liminf │───│＞ 1     diverges
n→∞     a
           n




所以以你給的"反例"來說


          a
           n+1
limsup │───││x│ ＜ 1     converges
n→∞     a
           n



             a
              n+1
而 limsup │───│ ＝ 1
    n→∞    a
              n


所以收斂半俓仍可做出 1 來



這個版本好就好在

limsup 頂多是無限大

不會像 lim 有其它狀況的不存在




還有一些狀況是這樣的

              n  2n
譬如說 Σ (-1)  x

                 a
                  n+1
我們如果用 lim│───│ 會覺得極限不存在
          n→∞  a
                  n



                a
                 n+2
但只要用 lim │───│ ＝ ρ
        n→∞   a
                 n

            2      1
去做出當 │x │＜ ─  時收斂
                  ρ

                    1
就可得到收斂半徑是 ── 的結論
                   √ρ


你給的例子用這招也可以做出 1 來







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◆ From: 140.112.233.127
推 znmkhxrw    :dogy大舉的例子 其limsup=inf liminf=0 吧?
→ dogy007     :嗯，這個反例對 ratio test 有效, 對 root test 無效
→ dogy007     :對 root test 有反例嗎？現在要去忙，晚上再想
→ PaulErdos   :對耶  看錯  腦袋壞了XD
推 dogy007     :剛吃飯時想了一下，如果冪級數收斂半徑 R
→ dogy007     :那 limsup (|a_n|)^(1/n) 應該存在等於 1/R
→ dogy007     :就是說，,沒有反例
推 znmkhxrw    :恩 我也證得用Root test 是if and only if
→ znmkhxrw    :因為root test的收斂與發散都可以用limsup解決
→ znmkhxrw    :不必牽涉到liminf，且沒有分母為零的問題