Re: [微積] 格林定理解PDE

[chy1010 (投靠了陌生的河流)]

※ 引述《bahhy (Kenzo)》之銘言：
: dG(x,x')
: ---------(代上下界x'+E到x'-E)  =   1  ------(1)
:    dx
: 在積分一次得
: G(x,x')(代上下界x'+E到x'-E) = 0 -----(2)


這應該是我們通常希望 Green's function 做到的事情,
就是在某個地方 "微分會像 delta function " 一樣.

                         L
這裡的結果是希望 u(x) = ∫  G(x,y) q(y) dy
                         0

由於 G(x,y) 當成 y 的函數時, 會在 x 有 singularity, 所以微分要小心:

        L                      x                     L
u(x) = ∫  G(x,y) q(y) dy  =  ∫  G(x,y) q(y) dy  + ∫  G(x,y) q(y) dy
        0                      0                     x

確保積分範圍內部為連續, 送, 微積分基本定理:

         L
u'(x) = ∫  D_x G(x,y) q(y) dy      (用 D_x 表示 對 G(x,y) 的 x 分量微分)
         0
        + G(x,x-)q(x-) - G(x,0)q(0)  + G(x,L)q(L) - G(x,x+)q(x+)

邊界條件: G(x,0)=G(x,L)=0
再加上  "q 連續" & "我們希望 G(x,x+)=G(x,x-) 左右極限值" 要一樣
              L
所以 u'(x) = ∫  D_x G(x,y) q(y) dy
              0

大膽再微一次分:
          L
u''(x) = ∫  (D_x)^2 G(x,y) q(y) dy
          0

         + D_xG(x,x-)q(x-) - D_xG(x,0)q(0) + D_xG(x,L)q(L) - D_xG(x,x+)q(x+)


邊界條件: G(x,0)=G(x,L)=0, 對 x 微一下分不過分吧?! => D_xG(x,0)=D_xG(x,L)=0
再加上 "q連續" & 我們希望 "D_xG(x,x-)-D_xG(x,x+) = 1"

另外利用 G 滿足方程式得到:  (D_x)^2G + k^2 G = 0
                      L
於是有 u''(x) = -k^2 ∫ G(x,y) q(y) dy  + q(x)
                     0

              = -k^2 u(x) + q(x)

於是得到 u''(x) + k^2u(x) = q(x) 的解.



這個 Green's function 的取法要點在於我們想強迫它滿足:

(1) 原homogeneous 方程式 G''+k^2G=0   (2) 邊界條件 G(x,0)=G(x,L)=0

(3) 在 singularity x=x' 附近希望要有 G(x,x-)-G(x,x+) = 0
                                     DG(x,x-)-DG(x,x+) = 1

如此才有對 u(x) 微分不小心丟出一個小孩 q(x) 的功效...



所以你說的那兩個式子不是計算 G 得到的,
是我們想要 G 是 Green's function,
就必須強迫它滿足那兩個條件




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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.37.254.163
※ 編輯: chy1010         來自: 114.37.254.163       (11/01 01:55)
推 LimSinE     :買連續函數, 送, 微積分基本定理！
推 bahhy       :原來如此 感謝 那能否在請問一下 如何由條件求出A跟
→ bahhy       :B這兩個係數呢?
→ chy1010     :像你一樣定好之後, 對 G, D_x G 取極限 x->x',
→ chy1010     :讓他滿足 G(x,x-)=G(x,x+), D_xG(x,x-)-D_xG(x,x+)=1
→ chy1010     :這樣就可以算出每個點 x 的 a,b
推 bahhy       :還是不太會算耶>< 不好意思 能否實際算給我看呢?謝謝
→ chy1010     :計算結果大概可以從你記得的那個係數窺得一二
→ chy1010     :考慮變異係數法: 先定 α(y)sinkx+β(y)sink(x-L)
→ chy1010     :然後代入方程式. 等下午 meeting 完晚上再來回 0.0