Re: [代數] N 次實係數多項式的實根

[TWN2 (twn2)]

※ 引述《chendaolong (JoJo A Go!Go!)》之銘言：
: 請問一下
: 對於一個 n 次實係數多項式
:           n       n-1
: P(x) = a x + a   x   + ... + a x + a
:         n     n-1             1     0
: 其係數均大於等於零
: 那 P(x) 有 n 個實根的條件是甚麼？

設P'(x)是P(x)對x的微分

令(P(x)P'(y)-P(y)P'(x))/(x-y) = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x^{i-1}y^{j-1}

則P(x)有n相異實根 iff matrix A = [a_{ij}] is positive definite

: 又若 P(x) 有 n 個實根
: 令
:             n           n-1
: Q(x) = A a x + A   a   x   + ... + A a x + A a
:         n n     n-1 n-1             1 1     0 0
: {A } 均為大於等於零的實係數
:   n
: 且
:    A > A   > ... > A
:     n   n-1         0
: 或
:    A < A   < ... < A
:     n   n-1         0
: 則 Q(x) 也會有 n 個實根嗎？
: 謝謝

n=2的反例很容易造

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 18.95.5.20
推 chendaolong :感謝！
推 chendaolong :請問一下這是甚麼定理？我想找來仔細看看，謝謝！