Re: [微積] 格林定理解PDE

[chy1010 (投靠了陌生的河流)]

※ 引述《chy1010 (投靠了陌生的河流)》之銘言：
: 推 LimSinE     :買連續函數, 送, 微積分基本定理！                   11/01 02:45
: 推 bahhy       :原來如此 感謝 那能否在請問一下 如何由條件求出A跟   11/01 09:57
: → bahhy       :B這兩個係數呢?                                     11/01 09:57
: → chy1010     :像你一樣定好之後, 對 G, D_x G 取極限 x->x',        11/01 10:53
: → chy1010     :讓他滿足 G(x,x-)=G(x,x+), D_xG(x,x-)-D_xG(x,x+)=1  11/01 10:54
: → chy1010     :這樣就可以算出每個點 x 的 a,b                      11/01 10:54
: 推 bahhy       :還是不太會算耶>< 不好意思 能否實際算給我看呢?謝謝  11/01 11:38
: → chy1010     :計算結果大概可以從你記得的那個係數窺得一二         11/01 13:13
: → chy1010     :考慮變異係數法: 先定 α(y)sinkx+β(y)sink(x-L)     11/01 13:15
: → chy1010     :然後代入方程式. 等下午 meeting 完晚上再來回 0.0    11/01 13:16

老闆說中場休息... 偷偷來回一下.


借用你之前的結果, 總之目前有這樣的 Green's function:

G(x,y) =  a(y) sin kx      for  x < y
          b(y) sin k(x-L)  for  y < x

現在要算係數讓他滿足那兩個條件.

take y-> x- and x+,

G(x,x-) = b(x)sin k(x-L)  ==> 於是有  a(x)sin kx - b(x) sin k(x-L) = 0
G(x,x+) = a(x)sin kx

先固定 y, 對 x 微分:

D_xG(x,y) = ka(y)cos kx     for x<y
            kb(y)cos k(x-L) for y<x

同樣帶入條件, 希望: D_xG(x,x-)-D_xG(x,x+) = 1

==>  kb(x)cos k(x-L) - ka(x)cos kx = 1

==> 解聯立方程式:

    a(x)cos kx - b(x)cos k(x-L) = -1/k
    a(x)sin kx - b(x)sin k(x-L) = 0

算一下 determinant: -sin k(x-L) coskx + sin kx cos k(x-L) = sin kL
不過如果 L 剛好是 pi 的整數倍的話,
那 Green's function 一開始也不用拆成 ab 兩部份了....
所以就直接假設 sinkL 不為 0, 利用 Cramer's rule 可以直接算

a(x) = sin k(x-L) / (ksin kL), b(x) = sin kx / ksin kL

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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。

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◆ From: 140.112.4.182
推 ntust661    :推
推 bahhy       :看懂了 太感謝了 大推
推 linbigheads :在MEETING都沒在聽  你學長又要講話了!!
→ chy1010     :老闆都說中場休息了!! 我休息的時候才開始打好嗎
推 linbigheads :soga