Re: [分析] 有關modular form中metric ds^2的問題

[yusd24 (阿鄉)]

※ 引述《bineapple (Bineapple)》之銘言：
: 我的課本裡面他定義
:                2      2
:   2        (dx) + (dy)
: ds (z)= ------------------
:                  2
:                 y
: 然後另
:           z - i
: ρ(z) = ---------
:           z + i
:       -1       iz + i
: 所以 ρ (z) = ---------
:                 1 - z
: 接著又定義
:   2    2   -1
: ds = ds 。ρ
:   k
: 然後就直接說可以得到
:                     2      2
:   2         4 ( (dx) + (dy) )
: ds (z) = ------------------------      z = x + iy
:   k                    2 2
:                ( 1- |z| )
: 可是我真的下去算之後卻怎樣都無法得到耶
: 我其實不是很懂他function composition是怎麼用的
: 有高手可以說明一下嗎?? 謝謝!


注意到 (dx)^2+(dy)^2 = dzd(z bar) (共軛複數)
所以原式就是要算

w=i(1+z)/(1-z) 中的 metric 變換

                2i
經計算得 dw= --------- dz,
              (1-z)^2

                   -2i
經計算得 dw= -------------- d(z bar),
              ((1-z) bar)^2               此處表示 1-z 的共軛複數

                  4dzd(z bar)
所以 dwd(w bar)= ------------
                   |1-z|^4
         (1-|z|^2)^2
再把 y= ------------  (此處 y 就是 w 的虛部)
           |1-z|^4

代入就得到答案了


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推 Lindemann   :推一下真強,我真的有算這一題硬算快一小時弄不出來><
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