Re: [微積] 積分因子

[zi6ru04zpgji (分說 不分說 不由分說)]

※ 引述《dkcheng (電磁霸主)》之銘言：
: Find an integrating factor
:        xy^2-cosxsinx
:   y'= ----------------
:          y(1-x^2)

       xy^2-cosxsinx
 dy = ──────── dx   乘積分因子 I1= y(1-x^2)
        y(1-x^2)


y(1-x^2) dy = xy^2dx-cosxsinxdx

ydy=xy^2dx+yx^2dy-cosxsinxdx

0.5dy^2 = xy(ydx+xdy) -sinx(dsinx)

0.5dy^2 = xy d(xy) -0.5 d(sinx)^2

0.5dy^2 = 0.5d(xy)^2 -0.5 d(sinx)^2   乘積分因子 I2=2

dy^2 = d(xy)^2 -d(sinx)^2

y^2 = (xy)^2 - (sinx)^2 +c 為隱函數解


本題積分因子 I=I1‧I2=2y(1-x^2)


說明：
本題為非正合
必須乘上積分因子 才能使方程式成為正合(exact)ODE

exact為何要翻成"正合"呢？
意思就是說 乘上積分因子後 ODE"正"好可以"合"併
所以 找解過程中 欲使式子合併成 df+dg+dh+.....=0 , f=f(x,y), g=g(x,y), h=h(x,y)
必須適當的乘上適當的I(x,y),使其能順利合併

而求解過程中 可能不只乘一次 可能會乘好幾次
而最終的積分因子 就是在找解過程中
乘的所有項

本題為例 由題目出發
最後合併成
dy^2 - d(xy)^2 + d(sinx)^2 =0

共乘了I1和I2

是故 最終的積分因子 即為I(x,y)=I1‧I2  "‧"表二式相乘


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◆ From: 114.37.59.156
推 dkcheng     :怎麼看積分因子 ?  這一題是要找不是要解
→ zi6ru04zpgji:怎麼看唷 就.......  找解過程中 有乘的所有式子
→ zi6ru04zpgji:相乘起來 就是積分因子了
→ zi6ru04zpgji:以本題為例 解題過程中 共乘了I1與I2 那積分因子
→ zi6ru04zpgji:就是二者相乘
※ 編輯: zi6ru04zpgji    來自: 114.37.59.156        (11/02 11:00)
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