Re: [微積] 一些很簡單的微分方程式

[doublewhi (趙哥)]

※ 引述《dkcheng (電磁霸主)》之銘言：
: 小弟不才
: 以下幾題ODE真的想不到要怎麼解
: 煩請板上各位高手了
: 1. Solve (sinycosy+xcos^2y)dx+xdy=0
:                 y^2+2y
: 2. Solve y'= --------------
:                y^4+2xy+4x
: 3. Solve (2xcosy+4x^2)dx=xsinydy
: 4. Solve the ODE and find an integrating factor
:    (3y^2+x+1)dx+2y(x+1)dy=0


1. 同除cos^2y  得

tany dx + xdx + x/(cos^2y) dy = 0

tany dx + xdx + xd(tany) = 0

d(xtany) + xdx = 0

xtany + 0.5x^2 = c


2. 先乘開 得

(y^4+2xy+4x) dy = (y^2+2y)dx

(y+2)(ydx-2xdy) = y^4dy

y(y+2) d(xy^-2) = y^4dy

d(xy^-2) = { y^4/[y(y+1)] }dy

兩邊積分

3. 同除x 得

2cosydx + 4xdx = sinydy

2cosy dx + d(cosy) = -4x dx

積分因子 I(x) = e^2x

d(cosy*e^2x) = -4x*e^2x dx

兩邊積分


4.

(3y^2+x+1)dx+2y(x+1)dy=0

3y^2 dx + (x+1)dx + (x+1)d(y^2) = 0

同除 x+1  得

d(y^2) + [3/(x+1)]y^2 dx + 1dx = 0

同乘 e^[3ln(x+1)] = (x+1)^3 後正合

===>  I(x) = (x+1)^2

d[ y^2*(x+1)^3 ] + (x+1)^3dx = 0


兩邊積分

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 140.113.122.118
→ doublewhi   :第三題  同除x後  把siny dy 化為 -d(cosy)
→ doublewhi   :變成1階線性ODE  (cosy的)
→ doublewhi   :第四題  把2ydy化為d(y^2) 後  變為一階線性ODE
→ doublewhi   :(y^2的)
→ doublewhi   :第二題我用湊合併的做出來 但不太確定  等回來再看看
※ 編輯: doublewhi       來自: 140.113.122.118      (11/03 15:41)
推 dkcheng     :怎麼知道第一題要同除cos平方 ?!
→ doublewhi   :經驗...  嘗試讓1,3項合併
→ doublewhi   :也可以讓1,2 項 2, 3項合併  然後發現積不出來