Re: [中學] 虛數不能比較大小

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《mathsun (數戰數決)》之銘言：
: 因為虛數不能比較大小,
: 所以 -3+4i < 3+4i 是錯的?
: 是因為 i 不能出現在不等式裡面嗎?
: 有一題建中段考考古題(單選題):
: 設z與w是複數﹐且 (z^2)+(w^2)<0﹐則下列敘述何者正確?
: (1) (z^2) < -(w^2)
: (2) z與w都是虛數　
: (3) z與w恰為一實數一虛數　
: (4) z與w中至少有一個是虛數　
: (5) z與w中至少有一個為實數
: 詳解為: ∵z與w是複數﹐又(z^2)+(w^2)<0
:         ∴有以下三種可能:
:         (a) (z^2)<0
:         (b) (w^2)<0
:         (c) (z^2)<0 且 (w^2)<0
:         即z與w中至少有一個是虛數
:         故答案為 (4)
: 但(1)錯在哪裡? 詳解並沒說明,以下的反例是對的嗎?
: 取 z=1+2i, w=1-2i
: 則 (z^2)=-3+4i, (w^2)=-3-4i
: 滿足 (z^2)+(w^2) = -6 < 0
: 但 -3+4i < -(-3-4i)=3+4i 是錯的
: 即 (z^2) < -(w^2) 是錯的
: 因為虛數不能比較大小,這樣的解釋對嗎?
: 難道 -3 < 3 => -3+4i < 3+4i 是錯的?
: 可是 (-3+4i)+(-3-4i) = -6 < 0 就是對的?
: 麻煩解惑,或解釋選項(1)為何錯誤,感謝!
這個詳解很奇怪，為什麼 (z^2)+(w^2)<0 就會有 (a), (b),(c) 三種可能？
難道不能是 z^2, w^2 都是複數，所以 (a), (b), (c) 都不成立
你舉的 z= 1+2i, w=1-2i 不正是如此嗎？
正確的說法應該是反證法，如果 z,w 都是實數, 則 z^2 > 0, w^2 > 0
所以 z^2 > 0 , w^2 >0 , z^2 + w^2 >0 得到矛盾
所以 z,w 至少有一是虛數

另外我們說複數不能比較大小，比較正確的說法是在複數上，
我們無法定義出一個次序，滿足一些我們想要的良好性質，
所以一般選擇不定義
比如說，  如果我定義 z > w 若且唯若 |z| > |w|
這樣的定義會出現 1, 和 i 不滿足 1 > i, 也不滿足 1 < i , 當然 1 也不等於 i
所以沒有三一律
如果我定義 a+bi > c+di, 若且唯若 a > c 或 a = c, b > d
這樣我們有三一律，但是 1 > 2i, 但 |1| < |2i|
這樣的次序定義，和我們心目中希望 |.| 代表某種長度的希望相牴觸
另一個看法上，如果我們希望在複數上定義次序
我們通常會希望保持實數上次序的一些良好性質
如 z > 0, w >0 => zw > 0
又如 z > 0 => -z < 0
但是不管我們定義出 i > 0, 或者 i < 0 都無法同時滿足前面兩個要求
如 i > 0, i*i > 0, -1 > 0 , 出問題了
如 i < 0, -i > 0, (-i)*(-i) > 0 ,  -1 > 0 一樣出問題
所以基本上我們不在複數上定義次序

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◆ From: 220.132.177.99
→ dogy007     :也許應該澄清一下，這裡的虛數指的是非實數的複數
→ dogy007     :如果虛數是限定為純虛數(ib, b 為實數)
→ dogy007     :那此題無解
→ a88241050   :虛數本來就沒有實部,只是我覺得這題出得不是很好..
※ 編輯: dogy007         來自: 220.132.177.99       (11/04 18:54)
→ doublewhi   :題目有夠爛的  他都說z w是複數  代表他接下來的
→ doublewhi   :虛數是指沒有實部的不是?
→ ckchi       :沒有吧... 所有 a+bi (a,b是實數) 的樣子都叫複數
→ ckchi       :其中 b=0時叫實數, b≠0時叫虛數
→ ckchi       :(在高中時好像是這樣說的)
→ recorriendo :不實的數就是虛數 高中是這樣教的
推 jacky7987   :上大學之後就只能說考卷上的成績都是虛數(菸
推 bineapple   :虛部不等於0的數叫虛數 若再加上實部等於0叫純虛數
→ dogy007     :關於這個，兩種說法都有人使用，
→ dogy007     :既然是高中數學，還是請有高中課本的人出來吧