: 3. 已知 x,y,z > 0，xy+yz+zx = x+y+z，
: 1 1 1
: 試證 ──── + ──── + ──── ≧ 1 ，並確定等號成立之條件。
: x^2+y+1 y^2+z+1 z^2+x+1
原題目應該是小於1
1 1 1
------- + ------- + ------- ≦ 1
x^2+y+1 y^2+z+1 z^2+x+1
首先由科西 (x^2 + y + 1)(1 + y + z^2) ≧ ( x + y + z )^2
所以有 1 1+y+z^2
------- ≦ ---------
x^2+y+1 (x+y+z)^2
x^2+y^2+z^2+x+y+z+3
輪換後可得 原式 ≦ -------------------
(x+y+z)^2
要證明上式≦1，可將他展開，得到
x+y+z+3 ≦ 2xy+2yz+2zx
<＝> 3 ≦ xy+yz+zx = x+y+z
而(x+y+z)^2 = x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx ≧ 3xy+3yz+3zx = 3(x+y+z)
所以有 x+y+z ≧ 3 或 x+y+z ≦0 (但x,y,z>0，後者不和)
所以 x+y+z ≧ 3 得證
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