Re: [線代] span和generate的差別?

[calvin4 (キャル君)]

※ 引述《James1114 (每天被自己帥醒)》之銘言：
: 各位好
: 想請問大家span和generate是一樣的東西嗎?
: 如果不一樣的話,他們有何不同呢?
: 謝謝大家!!!
: 我的認知是Span(S)=V時,才可說S generate V
: 但是若S無法生成出一個大空間的話,就不能說generate
: 但是我許多朋友總說這兩個是完全一樣的...

如果不那麼計較語用的話，你當然可以把兩者當成一樣的東西。但從抽象代數的
眼光來看，這兩者其實有比較精確的各自的定義。以下的討論可能需要一點抽象
代數的基本概念才能理解。

我們說「S spans V」的意思是：在佈於一個體F的向量空間V當中，每一個向量都
可以表示成S當中的向量的（佈於F上的）線性組合。

例如，考慮 S = {1, x, x^2, ... , x^n, ... } 與 V = |R[x] （所有實係數多
項式所構成的集合）。如果我們把 V 看成是佈於實數體上的向量空間，那麼隨便
一個 V 裡面的元素（也就是實係數多項式）其實就是 S 中的元素的（佈於實數
體上的）線性組合。所以我們可以說 S spans V。

但是，"generate"這個動詞在抽象代數中的定義，跟"span"有很大的不同。

我們說「S generates G」的意思是：在群<G,*>中，每一個元素都可以表示成S當
中的元素的「乘積」。

注意這裡的「乘積」指的是經過「*」這個運算後所得到的結果。假如今天考慮的
運算是實數加法群、有理數加法群或整數加法群裡面的一般加法，那麼「乘積」
的意思其實就是指「和」。

考慮 S = { 1, -1 } 與 G = <Z,+> 這個加法群（整數加法群）。隨便一個<Z,+>
當中的元素（也就是隨便一個整數），都可以表示成很多個 1 或 -1 一直加加加
加下去所得到的「和」。所以我們可以說 S generates G。

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來統整一下以上的討論。

所以在談論"generate"跟"span"這兩個動詞時，其實是在很不同的脈絡下談論的。
"span"必須在一個向量空間中談論。一個向量空間，除了本身是一個加法群之外，
還要再定義一個係數的乘法。如果一個集合僅僅構成一個群，而無法定義係數的
乘法，那麼它不會是一個向量空間，也沒辦法談論"span"。例如，剛才所提到的
{ 1, -1 } 這個集合，它可以generate整個Z，但它沒辦法span出Z來。（如果你
真的那麼想span，首先要定義一下係數的乘法。可是，該怎麼定義？）

相對地，在群論中所探討的"generate"，也通常不能夠用"span"取代。例如，剛
才所提到的 { 1, x, x^2, ... , x^n , ... } 這個集合，它可以span出 |R[x]，
但它並不能generate出 |R[x]。不信的話，你儘管拿這個集合裡面的元素去加吧。
不管你怎麼加，你都加不出 x/2 這個多項式來的。因為「x/2」是需要「乘」出
來的！

所以，也許有些人在口語上會將兩者混用；假如他們口中的"generate"其實是"span"
的意思，而他們又不會碰觸到抽象代數的一些現象的話，我覺得應該是無所謂。
但我們心裡要知道：其實真的要深入探討的話，這兩者還是有差別的。（而且差
很大！）

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推 hcsoso      :好文章推 :)
推 craig100    :版主耶 好文推@@
推 James1114   :因為{1,-1}裡面是兩個scalar,不是向量,所以無法span
→ James1114   :嗎?@@
→ James1114   :有幸能獲得版主的解答真有拋磚引玉之感!^^
推 James1114   :謝謝版主!^^
推 TassTW      :No, Span{1,-1} = k, 決定在你的向量空間 base field
推 recorriendo :但是像Finitely Generated Modules這樣的說法 用的是
→ recorriendo :generate 卻有span的概念