Re: [線代] span和generate的差別?

[TassTW (塔矢)]

我所學的和這篇不同
或許板主的課本是這樣定那些名詞的
但是另有一些數學家不這麼用

※ 引述《calvin4 (キャル君)》之銘言：
: 如果不那麼計較語用的話，你當然可以把兩者當成一樣的東西。但從抽象代數的
: 眼光來看，這兩者其實有比較精確的各自的定義。以下的討論可能需要一點抽象
: 代數的基本概念才能理解。

A span B 和 A generate B
核心的概念就是 B 是包含 A 的最小結構

白話來說
你現在看向量空間 over field k,
有一個集合 A, 不構成向量空間
那麼沒關係, Span(A) 自然就是一個向量空間
而且是包含 A 的向量空間中最小的

你現在看群 G
有一個子集合 A, 不構成 G 的子群
那麼沒關係, <A> 自然就是一個子群
而且是包含 A 的子群中最小的

你可以感受到, "generate" 的觀念是通用的
所以你說 A generate B 時, 可以指明

1. as groups
2. as rings
3. as modules
4. as vector spaces
5. as algebras
6. as .....

都說得通
其中 A generate B as vector spaces 就是 span

B 身為 group generated by A,
你給的定義固然簡潔
但我可以冗贅但是給出一個一致的定義
注意這裡的群乘法操作是

A x A → A

B = Σ U(A) a, 其中 U(A) = ∪An , An = 所有 A 中 n個(反)元素相乘而成的元素
   a in A                 n>0

若 B 身為 vector space generated by A,
注意純量乘法為

R x A → A

同樣有

B = Σ U(R) a, 其中 U(R) = ∪Rn , Rn = 所有 R 中 n個(反)元素相乘而成的元素
   a in A                 n>0

注意此時 field R 保證了 U(R) = R
可以寫成大家常見的 B = Σ R a_i 之類的形式

其他以此類推

: 所以，也許有些人在口語上會將兩者混用；假如他們口中的"generate"其實是"span"
: 的意思，而他們又不會碰觸到抽象代數的一些現象的話，我覺得應該是無所謂。
: 但我們心裡要知道：其實真的要深入探討的話，這兩者還是有差別的。（而且差
: 很大！）

這很大的差別我覺得只是名字要怎麼取而已
不用太在意

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在馬橋，與「他」近意的詞還有「渠」。
區別僅在於「他」是遠處的人，相當於那個他；  我想找的是他，但只能找到渠。
「渠」是眼前的人，近處的人，相當於這個他。  我不能不逃離渠，又沒有辦法忘記他。

　　　　馬橋語言明智地區分他與渠，指示了遠在和近在的巨大差別。
　　　指示了事實與描述的巨大差別，局外描述與現場事實的巨大差別。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 76.104.26.108
推 herstein    :yes....
推 recorriendo :推 尤其是像實分析裡 generated sigma field 之類的
→ recorriendo :更是只能用這種說法才能定義
推 calvin4     :感謝。因為讀的東西只有大學部的level，所以觀點比較
→ calvin4     :低一點。謝謝補正！
→ calvin4     :倒是好奇，在這樣的觀點下，{1,-1}generate出來的
→ calvin4     :向量空間，還會是Z嗎？
→ TassTW      :不會, 他會生成向量空間的 base field
→ WINDHEAD    :請問一下那個生成群裡面的反元素要怎麼看@@"
→ TassTW      :偷懶隨便講馬上被抓包 xDDD 我改改...
                我剛剛心裡想著 universal envelolping algebra 來打定義
                同時避免介紹 UEA 又想同時 cover 群的生成概念 就亂寫了
※ 編輯: TassTW          來自: 76.104.26.108        (11/07 11:23)
推 hcsoso      :推呀推!