[微積] 今天老師給的:函數的根的數目

[playmypig (玩我豬)]

老師是說教深了一點,題目是這樣的:

(1)f為R->R的可微函數,而且f'(x)=0有至多n-1個解.
證f(x)有最多n個解.

(2)用歸納法證明p:R->R為一Degree n的多項式, 那麼p(x)=0有最多n個解.(要用題(1)的結果)

我(1)的想法是去用歸謬法,設他有n+1個解,不知道這樣的起手對不對呢?

謝謝各位的指點.

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◆ From: 112.119.153.136
推 jacky7987   :1.隊的 然後用均值定理
→ jacky7987   :  對
→ jacky7987   :2. 數學歸納法+(1)的確可以解決
→ playmypig   :均值的函數該怎麼設呢?
→ jacky7987   :Let f(x_i)=0 ,i=1,..,n+1
→ jacky7987   :所以在x_i和x_i+1中間有個點使得f'(y_i)=0
→ jacky7987   :i=1,...,n 所以f'(x)有n個根
→ jacky7987   :(好啦 用Rolle's thm就夠了XD)
→ playmypig   :現在兩點了,終於有少少明白,遲一些我把我寫的proof貼
→ playmypig   :上來
推 Bourbaki    :第一個問題很好 (不過第二個就無聊了)
→ playmypig   :我不明白為什麼f'(y_i)=0只有n個根
→ jacky7987   :我找到y_1,...y_n使得f'(y_i)=0 所以f'有n個根
→ jacky7987   :所以就跟題目假設矛盾阿
→ playmypig   :為什麼上f(x_i)有n+1個根,但是f'(y_i)是n個呢?
推 jacky7987   :因為兩個中間有一個