[微積] 工數 微分方程

[EZ0928 (傲熊)]

{x^2,x|x|,x} 在  -∞ < x < ∞

問是 linearly dependent or linearly independent




我的解法如下

<i> for 0 ≦ x < ∞ => x|x|=x^2


          | x^2  x^2  x |
          |             |
     w =  |  2x   2x  1 | = 0
          |             |
          |  2    2   0 |


<ii>for -∞ < x ≦ 0 => x|x|=-x^2


          | x^2  -x^2  x |
          |              |
     w =  |  2x   -2x  1 | = 0
          |              |
          |  2    -2   0 |



由<i><ii>知 {x^2,x|x|,x} 在  -∞ < x < ∞ 為 linearly dependent


可是答案卻是 linearly independent

請問一下是我哪個地方觀念不對 還是哪裡算錯了呢?



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◆ From: 111.255.5.110
推 jack750822  :線性相依→W=0 這定理倒過來是不對的啊
→ doublewhi   :這定理倒過來是對的  但是你只能說他-∞~0  0~∞ 是
→ doublewhi   :dependent
→ doublewhi   :-∞~∞ 是不滿足的
→ doublewhi   :在x=-∞~∞  你並沒有辦法找出非零解滿足c1x1+c2x2=0
推 ntust661    :推樓上
推 jack750822  :2F 若定理倒過來是對的 那我直接把原PO的題目拿來
→ jack750822  :做W(x1,x2,x3) 不討論區間結果也=0 但答案是獨立啊
→ jack750822  :定理倒過來是若W=0則線性相依 這樣明顯有錯不是嗎@@?
推 destinycode :linearly dependent是Wronskin的充分條件但不是必要
→ destinycode :條件
→ destinycode :若W=0 則應該由線性獨立的定義直接判別
推 jack750822  :推樓上
→ doublewhi   :@@ 但是0~∞ 跟-∞~0  他的確是linear dependency
→ doublewhi   :應該說判斷是否線性獨立 找出的解必須要是常數
→ doublewhi   :要找出 C1*|X^2|+C2*X^2+C3*X =0 的非零解 -∞~∞
→ doublewhi   :另外我不知道這定裡反過來是不對的 可以舉個例子嗎@@
推 jack750822  :這一題就是 若W=0則為線性相依的錯誤例子啊
推 dogy007     :如果 a,b,c 使得 ax^2+bx|x|+cx=0
→ jack750822  :定理是說 若已知相依則W=0,或 若W≠0則線性獨立
→ jack750822  :用邏輯推斷w=0是不知道相依或是獨立的
→ dogy007     :for x > 0, (a+b)x+c=0  對所有 x>0 均成立=> a+b=0
→ dogy007     :同樣的對所有 x<0, (a-b)x+c=0 => a-b=0
→ dogy007     :所以 a=b=0, 因此 c=0 ,這表示 linear independent
推 doublewhi   :推樓上  你取的C不能因為x>0orx<0 改變
→ doublewhi   :同樣的你在算W  不能分>0 <0 算
推 jack750822  :x|x|的微分是2|x| 用這個來算W 就會直接=0了
→ doom8199    :那個定理的 converse 不會成立吧
→ doublewhi   :@@抱歉   converse不會成立