推 ntust661 :推... 11/10 21:59
※ 引述《tareki (tareki)》之銘言：
: 大家好
: 小弟最近念傅立葉半幅展開時有點混亂
: 想問的就是
: f(x)展成cosine series 跟 sine series 還有 fourier series 後
: 代表的還是f(x)嗎?
: 就是例如
: f(x)=x^2
: 展成cosine series 跟 sine series 還有 fourier series 後
: 他們還是代表同一個函數f(x)嗎?
: 如果會的話 為什麼呢??
這是 Fourier series 是否收斂到原函數的問題
當然我們還必須考慮收斂的意義
converge pointwise, converge uniformly, converge in L^2,
converge almost everywhere...等等
這些有些高微書有討論一些，有些專門討論 Fourier Series 的書有討論
有些結果早為人知，如 Dirichlet–Dini Criterion
但有些如 L^2 的函數，
Fourier series converge almost everywhere ，要到 196x 才被 Carleson 證明
這個結果還被推廣到 L^p , p>1 的情形
而有些驚奇的結果，如偉大的俄國數學家 Andrey Kolmogorov
在很年輕時就造出一個 L^1 函數，其 Fourier series 幾乎處處發散
如果要看專門的書
Katznelson 的 An Introduction to Harmonic Analysis 是相當好的入門書
對於分析有興趣的，想去體驗一下"又硬又難"的分析的人
可以去看看 Zygmund 的老書 Trigonometric Series
其他值得看的書有
Stein 和 Weiss 的 Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces
Dym 和 McKean 的 Fourier Series and Integrals
其他應該還有不錯的書，不過我沒讀過，所以不提
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