Re: [微積] 證e^x>1+x^2, x>=1

[harry901 (forcing to A cup)]

※ 引述《playmypig (玩我豬)》之銘言：
: e^x>1+x^2, x>=1
: 我的做法是:
: 設f(x)=e^x+1+x^2
: f'(x)=e^x+2x
: 我卡在這裡了,因為一般的情況也是設f'(x)=0,再把x解出來,但我解不到f'(x)=0喔.
: 謝謝各位.
let f(x)=e^x-(1+x^2)
則f(x)在x>=1上連續可微
對於任意實數x屬於[1,oo)恆有f'(x)=e^x-2x=g(x)

同理因g(x)在[1,oo)上連續可微
對於任意實數x屬於[1,oo)恆有g'(x)=e^x-2>0   使得f'(x)>0

再由中值定理  存在一數c屬於[a,b) 使得
f(b)-f(a)=f'(c)*(b-a)>0    其中a->1  b->oo
         註：f'(x)>0已經說明f'(c)>0  且b>a

這使得f(b)-f(a)>0  稱f(x)在[1,oo)嚴格遞增
因此e^x>(1+x^2)  for x>=1

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※ 編輯: harry901        來自: 111.243.238.42       (11/11 20:21)
推 playmypig   :明白了,多謝你的回答.