[工數] 關於逆運算子與雙曲函數的推導請教

[pentiumevo (數學系最不靈光的人)]

為了增加求特解的方法，所以學了逆運算子法

現在我已學會了

  1               1
----- exp(ax) = ----- exp(ax)
 L(D)            L(a)


當a是L(D)的k重根(k不小於1)

則公式為

  1                 1
------ exp(ax) = ------- x^k exp(ax)
 L(D)             (k)
                 L   (a)

當然這公式包含了a不是L(D)的根的情形


   1                  1
------ cos(ax+b) = ------- cos(ax+b)    而sin(ax+b)的情形亦同
L(D^2)             L(-a^2)

而當-a^2是L(D)的k重根時(k不小於1)

   1                      1
-------- cos(ax+b) = ------------ x^k cos(ax+b)
 L(D^2)                (k)
                      L   (-a^2)

這公式也包含了-a^2不是L(D)的根的情形

上面三角函數的推導是借助複指數 exp(i(ax+b)) = cos(ax+b) + i sin(ax+b)

利用第一個公式，再比較實部虛部推得的。



今天我做了一個題目：求解 y" + 3y' = 28 cosh(4x)

因為右邊是雙曲餘弦函數，書上沒有公式，所以就自己想辦法推推看

我就在想cosh是否有和cos相似的公式，也就是有沒有

   1                       1
-------- cosh(ax+b) = ------------ x^k cosh(ax+b)
 L(D^2)                 (k)
                       L   (-a^2)

於是我仿照書上對cos與sin的推導

得到了

L(D^2) cosh(ax) = L(a^2) cosh(ax)
                                         a^2沒有負號了!
L(D^2) sinh(ax) = L(a^2) sinh(ax)

但是cos跟sin可以用複指數公式扯在一起做，而且實部虛部不會互相影響

我就想了用

cosh(ax) + sinh(ax) = exp(ax)

於是

   1                  1                 1
------- cosh(ax) + ------- sinh(ax) = ------- [cosh(ax) + sinh(ax)]
L(D^2)             L(D^2)             L(D^2)

                                         1
                                    = ------- exp(ax)
                                      L(D^2)

                                          1
                                    = ---------- x^k exp(ax)
                                        (k)
                                       L   (a^2)

                                          1
                                    = ---------- x^k [cosh(ax) + sinh(ax)]
                                        (k)
                                       L   (a^2)

到這裡我就猜想

   1                     1
------- cosh(ax) = ------------ x^k cosh(ax)
L(D^2)               (k)
                    L    (a^2)

(sinh的情形亦同)

但是我這樣做跟在做三角函數時有個情形不一樣，就是我這裡沒法用比較實部虛部

所以我就對這公式有點疑惑，不曉得正確性


麻煩知曉逆運算子法的朋友給點提示，謝謝。


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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 125.233.12.17
推 jacky7987   :我沒學過 來亂猜 把cosh換成[e^x+e^(-x)]/2 代公式
推 mp8113f     :樓上正解
---------------------------endlesschaos大的推文-------------------------------
推 endlesschaos:想跟你說  不用 D^2 而是 D 的話也會對......
→ endlesschaos:因為 cosh 本來就是 e^x  所以 e^x 滿足的他也會滿足
推 endlesschaos:咦  不對  當我上面沒說
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※ 編輯: pentiumevo      來自: 125.233.9.189        (11/13 17:51)
推 Frobenius   :cosh(x) 本來就是 e^x 跟 e^(-x) 的線性組合
推 Vonkarman   : 公式是對的沒錯喔，2014年自己推出來看到這篇的我。