[線代] 一題線代求助

[cokewolf (可樂狼)]

A is a full column rank matrix,
show that (A^T)A > 0 and A(A^T) >= 0.

T代表transpose，>0是 positive definite

尋求指點，非常感激!!

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◆ From: 118.168.136.16
推 jacky7987   :用對稱矩陣和dim去想吧
推 jacky7987   :(A^T)A 和 A(A^T) 都是對稱所以至少是半正定
→ znmkhxrw    :A(A^T) >=0 ?  有等號嗎??
→ jacky7987   :所以你只要證明(A^T)A是full rank就好了
→ cokewolf    :還是看不太懂 Orz
→ cokewolf    :rank 跟 eigenvalue 要如何產生相關
推 jacky7987   :A^TA是方正阿 full rank就不會有eigenvalue=0的情況
→ cokewolf    :對，可是eigenvalue都能確保 >0嗎
推 jacky7987   :對稱矩陣至少是半正定阿,不等於0 總該大於0吧:P
→ cokewolf    :嗯，但問題是 為什麼對稱就會半正定
推 jacky7987   :不對想錯了QAQ
→ jacky7987   :對不起誤導你這麼久= ="
→ yhliu       :(1) x^T(A^T)Ax = (Ax)^T(Ax), (2) r(A^TA)=r(A^T).