Re: [分析] 不可數個正數之和必非有限數?

[JMLiang (遠遠不夠阿...)]

※ 引述《ericpony (活死人)》之銘言：
: 如題, 請版上高手提供證明思路或反例, 謝謝!
: (原題目是 Show that if u(.) is a finite measure, then there
: cannot be uncountably many disjoint sets A such that u(A)>0.)


  我的想法是這樣的

  若全空間是Z u(Z)=M , M屬於N

  假設Z存在一種不可數分割 {Ai,i屬於I} 使得u(Ai)_>0 for all i

  則  (1)一定可以找到最大的Ai (若沒有最大就表示u(Z)無限大 矛盾)

      (2)最大的Ai一定是有限個 (若無限個 相加就發生矛盾)

  所以令  B1 ~ Bk1      為最大的那幾個

  同理  Bk1+1~ Bk2      為第二大的那幾個

        Bk2+1~ Bk3      為第三大的那幾個

           .....           .......

       Bkj+1 ~ Bkj+2    為第j+2大的那幾個
           .....           ........


  因此 {Bj} 為一個可數個的集合 且 {Bj} = {Ai}

   但  {Ai}是不可數的集合 所以矛盾


  小弟的淺見 有錯請指正

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◆ From: 220.139.141.116
推 ericpony    :若最大的Ai, 其數目是不可數的, 那麼{Bj}仍不可數喔~
→ ericpony    :不過依照你的思路, 稍加修改答案就出來了喔^^
→ ericpony    :因為必存在一個有限的n, 使得第n大的集合數目不可數
→ ericpony    :但這些集合的測度又都相同, 相加起來為無限大, 矛盾~
推 ericpony    :咦@@ 發現我漏看了第二點,所以其實你已經證出來了orz
→ JMLiang     :^_^
→ NCWW        :最大的Ai是指使u(Ai)最大化的Ai嗎?
→ NCWW        :u(Ai)有上界 ==> u(Ai)有上確界 =\=> u(Ai)有最大值
→ JMLiang     :我不知道你的使u(Ai)最大化是什麼意思~
→ JMLiang     :我的意思是無論哪種分割,總會有最大的那個!
→ chy1010     :可以有最大的分割, 可是不一定有最大的 Ai
→ chy1010     :假設若有分割 En = {Ai} 其 measure 為 (1-1/n)