Re: [其他] 證明問題

[chy1010 (投靠了陌生的河流)]

※ 引述《a606155123 (冷氣團團長)》之銘言：
:  3.條件 :△sin x = 2 sin(1∕2) cos(x+1/2)    △cosx=-2sin(1∕2)sin(x+1∕2)
: show that   n        sin(n+1∕2)sin(n/2)
:             Σsink= ──────────
:             k=1        sin(1∕2)
: 拜託各位大大了   蠻急迫的  提供一題1500P當作小小心意  謝謝大家!!

               n
考慮 sin(1/2) Σ sink    每一項積化和差:
              k=1

sin(1/2) sin k = -[cos(k+1/2) - cos(k-1/2)]/2

因此加總起來之後相消只剩頭尾兩項:

-1 [                                                                       ]
---[cos3/2 - cos1/2 + cos5/2 - cos3/2 + ... + cos((2n+1)/2) - cos((2n-1)/2)]
 2 [                                                                       ]

= (-1/2)( cos (n+1/2) - cos 1/2 )            再和差化積
= (-1/2)[  cos{(n+1)/2+n/2} - cos{(n+1)/2-n/2} ]  = sin[(n+1)/2] sin(n/2)


將 sin1/2 除過去就可以了

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擁懷天地的人，有簡單的寂寞。

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◆ From: 111.249.203.156
推 a606155123  :chy大 還有餘力解其他2題嗎?
→ chy1010     :哪兩題 0.0
推 a606155123  :我po在上面 等等喔
→ a606155123  :其實這是2題 我打錯了 冏
→ chy1010     :prove by calculus? 這不是和差化積就可以了嗎 @@
→ chy1010     :還是要想 calculus 的作法 @@"....?
推 a606155123  :拍謝 我這題po錯 請重新看題目 謝謝xd
→ chy1010     :我想... 應該就是這個做法吧... o_O
→ chy1010     :你新的第三題一樣用和差化積囉 @@"...
推 a606155123  :所以用這題法就對了?
→ chy1010     :一樣囉 cos(x+1)-cosx 化成 cos(x+1/2 ±1/2) 拆開
→ chy1010     :得到 -2sin(x+1/2)sin1/2
→ chy1010     :如果說硬要用條件做的話, 那就對條件裡 x 微分就好了
推 a606155123  :△這不就是差分的意思?
→ chy1010     :是啊... 不過可以直接跟微分交換
推 a606155123  :和差化積全忘光 xd
→ a606155123  :若這樣子　有用到條件嗎？
→ chy1010     :快天亮了 快去睡吧 晚安~ @@
→ chy1010     :很在意的話就用微分囉
→ chy1010     :△cosx = cos(x+1)-cosx = (sin(x+1)-sinx)'
→ chy1010     := (△sin x)'=(sin1/2cosx+1/2)'=-sin1/2sinx+1/2
推 a606155123  :ok 晚安囉ｃ大　感謝你的回答