[分析] 數列證明

[asid52714 (黑心人)]

各位版友好，有一個問題想請問各位的想法。題目為

Let {An} be a sequence of positive numbers such that

lim n→∞ An = L. Prove that lim n→∞ [A1*A2*....*An]^(1/n).


我的想法是用算幾不等式(A1+A2+...An)(1/n)=>[A1*A2*....*An]^(1/n).

並且先證出lim n→∞(A1+A2+...An)(1/n)=L，就可以得到

L=>lim n→∞ [A1*A2*....*An]^(1/n).

此時如果可以找到一個不等式就可以使用夾擠定理了^^，

可是就卡住了TσT........。

想請問各位版友有沒有甚麼建議？

另外我想問一下lim n→∞ [A1*A2*....*An]^(1/n)根據極限的乘法運算規則

可以拆開成lim n→∞ (A1)^(1/n)*lim n→∞ (A2)^(1/n)*.....*lim n→∞ (An)^(1/n)

那可以推得上式=L^(1/n)*L^(1/n)*....*L^(1/n)=L嗎？

謝謝您的閱讀。祝大家期中考順利。






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◆ From: 140.119.156.237
→ Sfly        :何不取log
推 znmkhxrw    :用定義解的話蠻快的 , 考慮n<N_e 與 n>= N_e
→ znmkhxrw    :取ln後by Cesaro summation和conti. func.的性質亦可
→ znmkhxrw    :只是ln的方法似乎不能解if L = 0的情況
→ PaulErdos   :算術平均 幾何平均 調和平均
推 thisday     :樓上是艾狄胥耶^^
→ recorriendo :少了兩撇 失敗XDD
→ asid52714   :謝謝S大和Z大的提示，我會都試試看。
→ asid52714   :還有謝謝P大。