Re: [分析] 算是積分方程式吧

[doublewhi (趙哥)]

※ 引述《chy1010 (投靠了陌生的河流)》之銘言：
: ※ 引述《mathfool ()》之銘言：
: :    請問下列這個方程式
: :             π/2
: :    f(x) =  ∫    (1/2) cos(y) f(x+2y) dy
: :            -π/2
: :    f除了常數解外...有可能有其他非常數解嗎??
: :    請高手給個方向!!謝謝
: 寫了一大半, 我發現沒什麼結果... orz
: 想說或許可以討論看看, 還是 po 出來吧 QQ  別噓啊
: 分部積分, 假設 f 可微
:         π/2
:  f(x) =  ∫    (1/2) cos(y) f(x+2y) dy
:        -π/2
:                           π/2         π/2
:       = (1/2) siny f(x+2y) |     －     ∫  siny f'(x+2y) dy
:                           -π/2       -π/2


我覺得這想法滿有趣的@@ 很像在解偏微分方程  所以自己試了一下

不知道對不對:

         π/2
  f(x) =  ∫    (1/2) cos(y) f(x+2y) dy
        -π/2
                           π/2         π/2
       = (1/2) siny f(x+2y) |     －     ∫  siny f'(x+2y) dy
                           -π/2       -π/2

                          π/2                π/2    π/2
       = (1/2) sinyf(x+2y) |   +  f'(x+2y)cosy|    -  2∫f''(x+2y)cosydy
                         -π/2               -π/2   -π/2
又

         π/2
  f(x) =  ∫    (1/2) cos(y) f(x+2y) dy
        -π/2

            π/2  ∂
  f''(x) =    ∫  ----(1/2) cos(y) f(x+2y) dy
           -π/2 ∂x^2

             π/2
        =    ∫  (1/2) cos(y) f''(x+2y) dy
            -π/2


所以

f(x) = (1/2)[f(x+π)+f(x-π)] - 2f''(x)

不過不知道接下來怎麼解了@@

嘗試用複立葉轉換但是好像有點怪怪的

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◆ From: 140.113.122.118
※ 編輯: doublewhi       來自: 140.113.122.118      (11/16 04:08)
※ 編輯: doublewhi       來自: 140.113.122.118      (11/16 04:11)
推 herstein    :如果這是對的就做完了
推 herstein    :不過我算出來的跟你差一點~~~不知道是不是我算錯了
推 herstein    :你漏了1/2..... 也就是說你最後一個方程式f''的系數4
→ doublewhi   :真的嗎@@  其實我不太確定可不可以這樣算
→ doublewhi   :因為積分是對y積分  所以我微分是對y微分
→ doublewhi   :因此才差了兩倍
→ mathfool    :直接對f微分(當然要先變數變換把積分內的x移到cos去)
→ mathfool    :可得到f''(x) = (1/8)[f(x+π)+f(x-π)] - (1/4)f(x)
→ mathfool    :跟你做法是一樣意思的..也就是把積分方程變微分方程