推 herstein :nice~~ 11/17 07:38
推 mathfool :用傅立葉級數只能得到常數解...得到的東西就跟你算 11/17 14:34
→ mathfool :不過我不懂為何你會有二重根..得到δ'這個解 11/17 14:35
→ Vulpix : 回頭重看這題，其實有其他複數解||| 02/23 02:18
※ 引述《mathfool ()》之銘言：
: 請問下列這個方程式
: π/2
: f(x) = ∫ (1/2) cos(y) f(x+2y) dy
: -π/2
: f除了常數解外...有可能有其他非常數解嗎??
: 請高手給個方向!!謝謝
看到你說要週期解了，那這樣用傅立葉級數應該很夠
談一下我說到的傅立葉變換吧
兩邊做傅立葉變換，得
π/2 ∞ -ikx
F(k) = ∫ (1/2) cos(y) ∫ f(x+2y) e dx/(2π) dy
-π/2 -∞
π/2 i2ky
= ∫ (1/2) cos(y) F(k) e dy
-π/2
= F(k) cos(kπ) /(1-4k^2)
所以
F(k){ cos(kπ)/(1-4k^2) - 1 } = 0
解 cos(kπ)/(1-4k^2) - 1 = 0 得 k = 0 二重根
（還有沒有其他複數解……似乎沒有，但我忘記怎麼看了）
所以 F(k) = aδ(k) + bδ'(k)
做反變換回去得 f(x) = a-ibx
總之 f 只是 1 跟 x 的線性組合
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