Re: [中學] 代數一題

[Sfly (topos)]

※ 引述《ghkckhg (台灣自耕農代表)》之銘言：
: 題目如下：
: 第12題
: http://ppt.cc/,phg
: 看了許久看不出端倪...
: 莫非真是什麼羚羊掛角之招?
: 謝謝~
很不幸的,這題是有trick的
這裡三次方是嚇人的, 可以不管

考慮函數 f(T):=x/(T-1)+y/(T-3^3)+z/(T-5^3)+w/(T-7^3) -1

Then f(T)=0 for  T=2^3,4^3,6^3,8^3.

(T-1)(T-3^3)(T-5^3)(T-7^3)f(T) 是一個T的四次多項式且有零點 2^3,4^3,6^3,8^3

顯然 (T-1)(T-3^3)(T-5^3)(T-7^3)f(T) = -(T-2^3)(T-4^3)(T-6^3)(T-8^3).

比較三次項係數, x+y+z+w+1+3^3+5^3+7^3 = 2^3+4^3+6^3+8^3.

so, x+y+z+w = 2^3+4^3+6^3+8^3 -(1+3^3+5^3+7^3).


題外話, 多算幾步還能解出x,y,z,w:

                -(T-2^3)(T-4^3)(T-6^3)(T-8^3)
In fact, f(T)= --------------------------------
                 (T-1)(T-3^3)(T-5^3)(T-7^3)

                  5383385       9205785         35906247        222893255
            =-1 + ----------- + ------------- + ------------- + ------------
                  122512(T-1)   115024(T-3^3)   378448(T-5^3)   2617744(T-7^3)

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◆ From: 76.94.119.209
推 ghkckhg     :太神啦(跪拜)~~
→ bugmens     :會了話這題也可以做看看1984AIME第15題
→ bugmens     :http://0rz.tw/XkDZr
推 ghkckhg     :好像是一樣的東西?  在這題裡面x,y,z,w的次方似乎無
→ ghkckhg     :關緊要? 只要題目給的和答案問的一樣就可以套招解題
推 ghkckhg     :我較不確定的反而是S大在算x,y,z,w之解時(其實原題目
→ ghkckhg     :是給x^3不過應該沒差)時用的是類似1/t(t-1)=
→ ghkckhg     :1/(t-1) -1/t 的概念嗎?
→ Sfly        :eg. x=(T-1)f(T)代 T=1