Re: [微積] 一題ODE

[kakashi45232 (23254ihsakak)]

※ 引述《bennygameii (鹼性椅子水)》之銘言：
: 題目如下
: y'''-2y''-4y'+8y=6xexp(2x)
: 我用逆運算子處理特解時
:                       2
:             exp(2x)*3x
: 卡在
:              (D^2+4)
: 因為功力太弱解不出來Q_Q
: 麻煩幫我指點一下

  3   2            2x
(D -2D -4D+8)y=6x e

          1              2x
y =－－－－－－－－ (6x e )
      3   2
     D -2D -4D +8

          1             2x
  =－－－－－－－－ 6x e
          2
     (D-2) (D+2)

     2x            1
  =6e   －－－－－－－－－－－－ x
                   2
          [(D+2)-2] [(D+2)+2]

      2x     1
  =6 e   －－－－ x
           2
          D (D+4)


       2x     1        1        1
  = 6 e   [－－－ - －－－ + －－－－] x
               2
             4D       16D    16(D+4)

     3    2x   1       1         1
  = －－ e   [－－ - －－ + －－－－－] x
     2          2
               D      4D      4(D+4)

     3    2x   1    3     1   2     1     1      D
  = －－ e   [－－ x  - －－ x  + －－ (－－ - －－ + ... ) x ]
     2         6          8         4     4     16

     3    2x   1    3     1   2      1        1
  = －－ e   [－－ x  - －－ x  +  －－ x - －－]
     4         3          4          8       32


紅色字體為修改過後的式子

感謝zi6ru04zpgji的提醒
1/D^2可以先積!!
部分分式的部分可以簡化
詳細可以看看zi6ru04zpgji回的文

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 122.117.9.91
推 wayneblue   :看不懂第三行怎麼變第四行的@@
       1    ax
不是 -----e
      D-b

a=b時  D要代D+a
a=/=b  直接帶進去?
還是說要部份分式展開嗎
※ 編輯: kakashi45232    來自: 122.117.9.91         (11/18 14:40)
推 wayneblue   :我也不太確定 我印象上是exp後面有多乘上一項R(X)的
→ wayneblue   :話 才是代D+a
可是我用部份分式展開
    1           1           1          2x
[------- - --------- + ----------] x  e
 16(D+2)    16(D-2)     4(D-2)^2

分別算出來的結果是

 1     2x  1     1       1   2
--- x e  (--- - --- x + --- x )
 8         8     4       3

真怕誤導人耶
有請高手人士來指點吧
※ 編輯: kakashi45232    來自: 122.117.9.91         (11/18 14:48)
→ wayneblue   :我算出來比你多一項 (-3/16)X^2exp(2x)
推 zi6ru04zpgji:你的第三步到第四步分母多了4 少了(D+4)
→ bennygameii :感謝大家!!
所以是所有的D都要代入D+2嗎

補充長除法

  1      1      D
----- = --- - ----- +......
 D+4     4     16
                2
(x為一次方 所以D 運算後會等於0 長除法不用繼續做下去)


     1      D
    －－ - －－
     4      16
　　ˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍ
4+D/ 1
           D
     1  + －－
           4
    ˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍ
           D
        - －－
           4        2
           D       D
        - －－ -　－－　　
           4       16
    ˍˍˍˍˍˍˍˍˍˍ
            　：
  　　　　　　：
※ 編輯: kakashi45232    來自: 122.117.9.91         (11/19 18:42)
推 zi6ru04zpgji:只能推了!!!!! 長除法很難PO上去的說!!!
→ zi6ru04zpgji:只是 建議可以用直線 較好辨識
※ 編輯: kakashi45232    來自: 122.117.9.91         (11/20 18:19)