Re: [微積] 一題ODE

[zi6ru04zpgji (分說 不分說 不由分說)]

※ 引述《bennygameii (鹼性椅子水)》之銘言：
: 題目如下
: y'''-2y''-4y'+8y=6xexp(2x)
: 我用逆運算子處理特解時
:                       2
:             exp(2x)*3x
: 卡在  -----------------------
:              (D^2+4)
: 因為功力太弱解不出來Q_Q
: 麻煩幫我指點一下


(D^3-2D^2-4D+8)y=6xexp(2x)

(D-2)(D+2)(D-2)y=6xexp(2x)

y_h=(a+bx)exp(2x)+cexp(-2x)

           1
y_p= ──────── 6xexp(2x)
     (D-2)(D+2)(D-2)

                   1
   = 6exp(2x) ───── x
               (D+4)D^2


                 1      1
   =6exp(2x) ───── ─ x^3
               (D+4)    6

                1       1       1        1
   =  exp(2x) (── - ──D + ──D^2-───D^3)x^3
                4      16      64       256

              1         3          6       6
   = exp(2x)[── x^3 -── x^2 + ──x- ───]
              4         16         64      256


通解y=y_h+y_p

說明：
       d
1. D= ── 為運算子
       dx

    1
   ── = ∫dx 為逆運算子，即為積分
    D

    1
   ── =∫∫dxdx 為重積分
    D^2

      1                   1
 故 ───x = ∫∫xdxdx= ── x^3
     D^2                  6


2. 詳解：

     1
   ─── f(x) = exp(λx)∫exp(-λx)f(x)dx ，將值代入運算即可
    D-λ


  周易云：超煩


  速解： 執行逆長除法，可得

    1
  ───x^n = (a +a D+aD^2+..+a D^n+....)x^n 執行長除法至n即可
   D-λ         1  2   3       n



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◆ From: 114.37.63.45
※ 編輯: zi6ru04zpgji    來自: 114.37.63.45         (11/18 18:15)
推 bennygameii :感謝!!!!看到周易云笑了一下XD
→ doublewhi   :XD  超煩表示:
→ zi6ru04zpgji:  喻超凡表示：你為什麼每次上課都要cue我!!!
推 hsnuyi      :最後一行我記得是不嚴謹的...
→ zi6ru04zpgji:「速解」本就是能算出答案就好 嚴謹與否 嗯.....
→ doublewhi   :應該這樣講  他要建立在1/L(D)的 L(D)最低次數是0次
→ zi6ru04zpgji:不然 就是提出1/D 做積分 使剩下的1/L(D)最低次數為1