Re: [中學] 為何對角互補的四邊形會共圓

[tandem (天燈)]

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: 我知道圓內接四邊形 對角會互補
: 但是我想問為什麼一個對角互補的四邊形 則這四邊形的四個頂點也會落在同各圓上
: 怎麼證明?
這件事要用綜合幾何來證的話似乎會有點不好寫

不過用一些其他的技巧  就變成單純代數了   例如以複數平面來證的話

令原點為三角形 ABC 外接圓心, 並設 ABC 外接圓半徑為 1
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則 aa = bb = cc = 1   那只要證明對角互補可推得  dd = 1 即可 (   是 conjugate)

對角互補這個條件要先轉化成複數形式, 從 ∠BAD + ∠DCB = π 出發

        d-a      b-c
等價於 ----- 和 ----- 這兩個複數的輻角之和為 π
        b-a      d-c

         (d-a)(b-c)
也就是  ------------ 是一個負實數
         (b-a)(d-c)
                 ____________      _ _  _ _
    (d-a)(b-c)    (d-a)(b-c)      (d-a)(b-c)
則 ------------ = ------------ = --_-_--_-_--
    (b-a)(d-c)    (b-a)(d-c)      (b-a)(d-c)

接下來就交叉相乘展開
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(d-a)(b-c)(b-a)(d-c) = (d-a)(b-c)(b-a)(d-c)
                   __ __   __ __       __ __   __ __
[(ac+bd)-(ab+cd)][(ac+bd)-(ad+bc)] = [(ac+bd)-(ab+cd)][(ac+bd)-(ad+bc)]
        __ __            __ __            __ __
(ab+cd)(ad+bc) - (ab+cd)(ac+bd) - (ac+bd)(ad+bc) = 左邊的 conjugate
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bd + ac + cadd + db - bc - ad - da - cbdd - cd - ab - badd - dc =左邊conjugate
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(利用 aa = bb = cc = 1)

然後再對消化簡得
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(dd - 1) (ab + bc + ca - ba - cb - ac)  =  0
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所以只要  ab + bc + ca - ba - cb - ac ≠ 0 就證完了

而這是因為  上式等於 0 的話 A, B, C 三點會共線

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◆ From: 111.80.98.205
→ oldblackwang:看起來比綜合幾何寫法要麻煩得多。
→ tandem      :但其實是不用費神去分 case, 檢查邏輯有沒有遺漏,
→ tandem      :直接一直展開就算完了