Re: [中學] 獨立事件證明

[TWN2 (twn2)]

※ 引述《daliao626 (潮寮)》之銘言：
: ※ 引述《ATOU0526 (鐵漢葡萄)》之銘言：
: :    A和B  A和C B和C   倆倆各自為獨立事件
: 考慮 P(A∩B∩C)= P[(A∩B)∩C] ，把三事件當成兩事件來處理
: 當A與C以及B與C互為獨立事件時，則事件A∩B也與C互為獨立事件

這裡錯了，A與C獨立 & B與C獨立 不表示 A∩B也與C獨立

反例:

假設X,Y,Z是三個隨機變數

X有1/2的機會是0，1/2的機會是1
Y有1/2的機會是0，1/2的機會是1，且X跟Y獨立
Z = X+Y (mod 2)

則事件A={X=1},B={Y=1},C={Z=1}倆倆各自獨立，但(A∩B)與C不獨立

: 根據兩獨立事件的定義P(A∩B)=P(A)*P(B)
: 所以P[(A∩B)∩C] =[ P(A∩B) ]*P(C)
:                  =[ P(A)*P(B) ]*P(C)     得證
: :   且P(A交集B交集C)=P(A)*P(B)*P(C)
: :   則稱 A B C 三個事件是獨立的
: :   請問這個三事件獨立結論的證明過程  是如何導證的?  請指教 謝謝

事實上

P(A∩B) = P(A)P(B)
P(B∩C) = P(B)P(C)
P(C∩A) = P(C)P(A)
P(A∩B∩C) = P(A)P(B)P(C)

就是三事件獨立的定義的一種，所以根本沒甚麼好證的

硬要證些東西的話，頂多用這定義來證明 P((A∩B)∩C) = P(A∩B)P(C) :

P((A∩B)∩C) = P(A)P(B)P(C) = (P(A)P(B))P(C) = P(A∩B)P(C)  QED

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◆ From: 18.95.5.20
推 ghkckhg     :想順便請問一下  我印象中的獨立定義是從條件機率
→ ghkckhg     :出發  真有這麼一回事嗎?  謝謝
→ yhliu       :一般定義是用聯合機率, 因為用條件機率會把某些情況
→ yhliu       :排除. 再者, 以條件機率定義, 寫起來較麻煩, 尤其是
→ yhliu       :多事件情形. 如此處三事件 A, B, C, 除兩兩獨立之外,
→ yhliu       :還要 P(A|BC)=P(A) 或 P(B|AC)=P(B) 或 P(C|AB)=P(C)
→ yhliu       :不如用聯合機率 P(ABC)=P(A)P(B)P(C) 一式包括了上列
→ yhliu       :三式, 並且包含 P(A) 或 P(B) 或 P(C) 為 0 的情況.