推 jacky7987 :又讓我想起複變了XD 11/20 14:36
推 h2o1125 :帥氣的證明 11/20 15:47
推 sssn1 :每次看未知領域的證明都覺得好想學XDD 11/20 23:26
→ WINDHEAD :其實是高中範圍的證明阿XD 11/21 04:21
→ jacky7987 :但是保圓這件事情XDDDDD 11/21 14:49
推 ckaha :我已經不會複數了 嗚嗚嗚 11/22 14:32
我覺得你的方法蠻能體現數學家求知的精神XD
是說有些論述可以作得更簡明，比方說像這樣：
考慮 I : z -> 1/z
_ _
由圓的表達式 r^2 = (z-A)(z-A) 知 I 將圓送到圓(直線看成通過無窮遠點的圓)
考慮 T : z -> Pz+Q 知 T 亦將圓送到圓( 縮放旋轉平移)
交錯使用 I 與 T , 可知下列映射將圓送到圓
(d-z)(b-c)
f(z) = ---------- 這裡 a,b,c,d 是圓上四點(依序)
(b-z)(d-c)
既然 f(c)=1 , f(d)=0 , f(b)=無窮遠點
所以通過 f(c),f(d),f(b) 的"圓"是實數軸
故我們可得出 f(a) 為負實數
又因為 f 的逆映射亦是諸 I 與 T 的合成
所以逆命題也成立 : f(a) 為負實數 => a,b,c,d 是圓上依序四點
※ 引述《tandem (天燈)》之銘言：
: 這件事要用綜合幾何來證的話似乎會有點不好寫
: 不過用一些其他的技巧 就變成單純代數了 例如以複數平面來證的話
: 令原點為三角形 ABC 外接圓心, 並設 ABC 外接圓半徑為 1
: _ _ _ _ _
: 則 aa = bb = cc = 1 那只要證明對角互補可推得 dd = 1 即可 ( 是 conjugate)
: 對角互補這個條件要先轉化成複數形式, 從 ∠BAD + ∠DCB = π 出發
: d-a b-c
: 等價於 ----- 和 ----- 這兩個複數的輻角之和為 π
: b-a d-c
: (d-a)(b-c)
: 也就是 ------------ 是一個負實數
: (b-a)(d-c)
: ____________ _ _ _ _
: (d-a)(b-c) (d-a)(b-c) (d-a)(b-c)
: 則 ------------ = ------------ = --_-_--_-_--
: (b-a)(d-c) (b-a)(d-c) (b-a)(d-c)
: 接下來就交叉相乘展開
: _ _ _ _ _ _ _ _
: (d-a)(b-c)(b-a)(d-c) = (d-a)(b-c)(b-a)(d-c)
: __ __ __ __ __ __ __ __
: [(ac+bd)-(ab+cd)][(ac+bd)-(ad+bc)] = [(ac+bd)-(ab+cd)][(ac+bd)-(ad+bc)]
: __ __ __ __ __ __
: (ab+cd)(ad+bc) - (ab+cd)(ac+bd) - (ac+bd)(ad+bc) = 左邊的 conjugate
: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
: bd + ac + cadd + db - bc - ad - da - cbdd - cd - ab - badd - dc =左邊conjugate
: _ _ _
: (利用 aa = bb = cc = 1)
: 然後再對消化簡得
: _ _ _ _ _ _ _
: (dd - 1) (ab + bc + ca - ba - cb - ac) = 0
: _ _ _ _ _ _
: 所以只要 ab + bc + ca - ba - cb - ac ≠ 0 就證完了
: 而這是因為 上式等於 0 的話 A, B, C 三點會共線
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 24.12.185.108