推 ntust661 :推! 11/20 15:56
推 jacky7987 :推! 每次看書上找contour總覺得在開圖XD 11/20 19:18
※ 引述《Lanjaja ()》之銘言：
: 想請教一個常用的複變積分
: pole在虛軸上
: 但是不知道怎麼證明積分收斂
: 然後再求其值
: ∞ t^(n-1)
: ∫ dt ------------- = ?? n為正整數
: 0 exp(t) + 1
: 感謝回答
考慮
z
Ic = ∮ --------- dz
e^z -1
contour取矩形:
C1: 正實數軸 z= x+i0 , x = ρ ~ x = L .
C2: z = L + iy , y = 0 ~ y = π .
C3: z = x + i0 , x = L ~ x = 0 .
C4: z = 0 + iy , y = π ~ y = ρ .
Cρ: z = ρe^(iθ) , θ = π/2 ~ θ = 0 .
C = C1 + C2 + C3 + C4 + Cρ
取ρ→0 , L→∞ .
∞ x ∞ x
令 ∫ --------- dx = I , ∫ --------- dx = J ,
0 e^x - 1 0 e^x + 1
∞ 2x ∞ u
則 I - J = ∫ ----------- dx = ∫ ----------- du/2 = I/2
0 e^(2x) -1 0 e^u - 1
所以 J = I/2 .
z
I1 = ∫ --------- dz = I .
C1 e^z -1
0 x + iπ ∞ x + iπ ∞ iπ
I3 = ∫ ----------- dx = ∫ ----------- dx = J + ∫ --------- dx
∞ -e^x -1 0 e^x + 1 0 e^x + 1
│∞
= I/2 - iπ ln [ 1+e^(-x) ] │ = I/2 + iπ ln2
│0
π L + iy │L + iy│
I2 = ∫ ---------------- i dy ≦ π -------------------
0 e^L e^(iy) + 1 │e^L e^(iy) + 1│
│Le^-L + iye^-L │
= π -----------------------
│ e^iy + e^(-L) │
｜0 + 0｜
lim I2 ≦ π --------------- = 0
L→∞ ｜e^iy + 0｜
π iy π y
I4 = ∫ -------------- i dy = ∫ ------------- e^(-iy/2) dy
ρ e^(iy) - 1 ρ 2i sin(y/2)
π π
= ∫ y [ -icot(y/2) -1 ] /2 dy = -(π^2)/4 - i/2 ∫ y cot(y/2) dy
ρ 0
0 ρe^(iθ)
Iρ = ∫ ------------------- iρe^(iθ) dθ
π/2 ρe^(iθ) - 1
≦ π/2 [ ρ^2/√(ρ^2 + 1 - 2ρcosθ) ] = 0 when ρ→0 .
C內皆可解析, 故 Ic = 0 .
I1 + I2 + I3 + I4 + Iρ = I = 0
π
I + 0 + ( I/2 + iπln2 ) + ( -(π^2)/4 - i/2 ∫ y cot(y/2) dy ) + 0 = 0
0
由實部等於實部, 虛部等於虛部可得:
π
I = (π^2)/6 , ∫ y cot(y/2) dy = 2πln2 .
0
故 J = I/2 = (π^2)/12 . 故當 n=2 時, 所求為(π^2)/12 .
參考一下吧~
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◆ From: 140.114.82.212
※ 編輯: G41271 來自: 140.114.82.212 (11/20 15:48)