※ 引述《chien0525 (雙子男)》之銘言：
: 題目是
: Suppose that 0 < p,q < 1 , p + q = 1
: ∞ x-1
: (a) Σ x p q = ?
: x=1
∞ k-1 ∞ k-1 ∞ k ∞ k ∞ k 1 1
Σ k (1－q) q ＝ Σ k q － Σ k q ＝ Σ (k＋1)q － Σ k q ＝ ── ＝ ─
k=1 k=1 k=1 k=0 k=0 1－q p
: ∞ 2 x-1
: (b) Σ x p q = ?
: x=1
∞ k-1 1 ∞ k ∞ k 1
Σ k x ＝ ──── ＝ Σ (k＋1) x ＝ Σ k x ＋ ───
k=1 (1－x)^2 k=0 k=0 1－x
∞ 2 k-1 ∞ 2 k-1 ∞ 2 k ∞ 2 k ∞ 2 k
Σ k (1－q) q ＝ Σ k q － Σ k q ＝ Σ (k ＋2k＋1) q － Σ k q
k=1 k=1 k=1 k=0 k=0
∞ k ∞ k 2 1 2－p
＝ 2 Σ k q ＋ Σ q ＝ ──── － ──── ＝ ───
k=0 k=0 (1－q)^2 1－q p^2
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◆ From: 140.112.4.183