Re: [其他] topology與text topology

[xcycl (XOO)]

※ 引述《TassTW (塔矢)》之銘言：
: 拓樸這個字常常造成大家的困擾,
: 我不是唸拓樸的, 不過我可以就我準備資格考的低等觀點來說一下我對這名字的認識,
: 藉此拋磚引玉希望高人指正
: 1. topology 原意
: (0) [非數學] 描述物質/物件/網路/地區的組態/關聯 的名詞
: (1) [數學]   一般拓樸學 (介紹可見拙作 http://goo.gl/3X8dp )
: (2) [數學]   一個拓樸空間 X 所攜帶的 " X 的子集的 collection "
:              恰好代表 X 中的 open subsets
: 但是隨著一般拓樸學逐漸完備, 現今我們說拓樸學家
: 多半是指代數/微分拓樸學家,
: 代數拓樸學家關心 homeomophic/homotopic 不變量
: 而代數拓樸的第一門課會花許多時間探討這些不變量的計算
: (關於計算面, 我參照 Hatcher 寫了一些低等的心得 http://goo.gl/zMZ4u )
: 微分拓樸學家(通常也是幾何學家)關心各種流形及其結構
: 這部份我不會, 有請其他人補充...
: 2. topology 的引伸
: 因應 topology 的性質特殊
: 有許多本質不是 topology 的學門, 模仿拓樸學的方法自創武功, 出現了山寨版
: (a)
: 比方說, 我有個唸計算機科學/邏輯的朋友
: 正在讀 homotopy type theory
: 是把邏輯中的 type theory 藉由 homotopy theory 的樣貌重生
: 因為他還沒有看得很懂, 所以我也不懂細節 (xD)
: 不過我聽他的說法, 裡面做的事情是把
: 1) "證明" 想做空間中的點
: 2) "證明等價" 想做 連接點的 "path"
: 然後計算這個空間的 (higher) homotopy groups
: 聽起來怪嚇人一把的!
: 但是眼尖的版友可能注意到了, 要定 "path", 就要定連續
: 要定連續, 就要定這個 "證明空間" 的 topology
: 那究竟是什麼呢? 他也還沒看到 (xD), 且待下回分曉....
不需要 ...

這邊講的 homotopy 都是範疇化的概念，homotopy type theory
把 Martin-Lof type theory 用 Quillen model category (1)
來描述，對所有的 model category 都有 sound and complete 的詮釋。

Categorical semantics 做的事情都很類似，
像是 simple type theory 在任何 Cartesian closed category C
都可以詮釋，將 type A 對應 C 的 object "A", product type of A, B 對應到
product object "A" x "B" of "A" and "B" 以此推類。

對於拓樸的 homotopy category(2) 滿足 Quillen model theory
的公設，所以可以將 Martin-Lof type theory 詮釋在 homotopy category，
但不限於 homotopy category。

(1) 定義在 http://ncatlab.org/joyalscatlab/show/Model+categories 找得到
(2) homotopy category 由 topological spaces 作為 object，
X 到 Y 的 morphism 則是由 X 到 Y 的連續函數的 homotopy class。

聽過幾次演講而已，現學現賣但也有可能講錯 ...
: 3. 和數學的 topology 無關的其他 topology
: 比方說前面版友提到的 topological insulator
: 和原 po 的 text topology 都是
: ----
: 題外話1, 我最不能忍受別人說 "像是拓樸學中的七橋問題..." 這種話 xD
: 題外話2, 我 blog 上使用的 laTeX 外掛的伺服器目前好像掛了
:          雖然語法正確但是有時會顯示不出來 @@
4. 另外一種分支是 point-free topology。
一般 topology 講的是集合上有 open sets 滿足特定公設，
但是 point-free topology 則是直接定義拓樸為：
complete lattice F 滿足 infinite distributive law:

VS /\ a = V(s /\ a)

其中 S 是 F 的子集，a 是 F 的一個元素，V 代表 arbitrary sup
而 /\ 是 binary inf。我們把 F 這樣的結構稱為 frame
其中的元素想成是 open set ，一般定義的拓樸空間 (X, \tau)
的 \tau 即滿足此公設。（arbitrary inf 則是取交集的 interior）

在此範疇下的 morphism 則是保持 arbitrary sup 跟 finite inf，
而拓樸空間的連續函數的反函數限制在 open sets 上則滿足此一條件，
所以從拓樸範疇 Top 到這個結構我們稱為 Frm 有一個 contravariant functor，
為了方便起見，我們都用 Frm 的 opposite category 叫做 the category
of locales。

給定一個 frame F 我們也可以得到一般的拓樸空間，
但可惜這兩個範疇並不相等，也就是說從任意 frame F 出發，
轉成 topological space 再取 open sets 作為 frame 並不會跟原本的相等。
反之，給定任意拓樸空間，轉成 frame 再轉回拓樸空間也不會一樣。
但只要滿足很微弱的分離條件在 T0 跟 T2 之間，就可以轉回一樣的東西。

這套理論的經典教科書是 P. Johnstone 的 Stone space，
裡面有很多經典拓樸的定理，都可以用這套架構證出來，
也可以在上面作測度，作積分等等。
據稱好處是論證都是構造式的，而且在 topos theory 下比用 Top 性質還要好，
但這也不是我的研究領域，好在哪裡我也不曉得。

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 82.36.121.236
推 Lindemann   :哇,我的廢文竟然掉出這麼多高手出來其實也是蠻開心的
推 Lindemann   :整篇只認識Daniel Quillen,代幾拿費爾茲獎的大師><
→ Lindemann   :他受Grothendieck影響很大竟最近過世了,數學版沒人po
推 herstein    :我每次看到範疇論都會自動end....XD
→ herstein    :習慣太壞了XDDD
推 Lindemann   :上次h大您也不是提了category嗎?我是忍耐下去看了XD
→ Lindemann   :之前您跟我解釋用腳毛一下bundle,我就去看connetion
※ 編輯: xcycl           來自: 82.36.121.236        (11/24 09:57)
推 WINDHEAD    :自從Topos這東西出來後,拓樸學就不再清純了..(遠目)
推 WINDHEAD    :其實我的想法比較接近說..天下沒有白吃的午餐
推 TassTW      :感謝
推 plover      :那什麼是 text topology XD
推 spacesea    :可能是描述文本中語意間的關聯程度我猜...
→ xcycl       :結果原 po 的問題被忽略了 Q"Q
推 hcsoso      :過了好久, 突然發現這篇文章的東西很受用, 謝謝!