※ 引述《cos3242 (一生懸命)》之銘言：
: 最近試著用全微分(grouping)解全部一階ODE
: 可是我發現我有幾種題型好像解不出來
: i)
: dy 1
: --=--------
: dx e^y -x
y
e dy - xdy = dx
-y -y
dy - xe dy - e dx = 0
-y -y
dy - [e dx - xd(e ) ] = 0
-2y y
dy - e d(xe ) = 0
1 2y y
---d(e ) - d(xe ) = 0
2
2y y
e - 2xe = c
2
原答案括號展開後 x 可對消，因此答案相同
: ii)
: 2 2
: y'-2xy=x + y
2
dy = (x+y) dx
dy du
令 x+y = u => dx + dy = du => ---- = ---- - 1
dx dx
du 2
---- - 1 = u
dx
2
du = (u + 1)dx
du
--------- = dx
u^2 + 1
-1
tan u = x + c
-1
tan (x+y) = x + c
: iii)
: 3
: x y
: xy'-y=2 --- e^---
: y x
y
3 ---
x x
xdy - ydx = 2 --- e dx
y
y
---
2 y x x 2
x d(---) = 2---e * x dx
x y
y
- ---
y x y
---e d(---) = 2dx
x x
y y
- --- - ---
y x x
- ---e - e = 2x - c
x
y -(y/x) -(y/x)
2x + ---e - e = c
x
: ANS:
: i)(e^y-x)^2= x^2+c
: ii)tan^-1 (x+y)= x+c
: iii)2x + y/x*exp(-y/x)+ exp(-y/x)= c
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