推 Herseth :感謝 11/24 22:01
※ 引述《Herseth (Memento)》之銘言：
: x + y + z=0 ----(1)
: x^3 + y^3 + z^3 = 3-----(2)
: x^5 + y^5 + y^5 = 15----(3)
: 試求 x^2 + y^2 + z^2 = ?
: 感謝高手解惑
這種問題通常不就是硬算就好了~~ 只是算的快和慢而已
由 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)*.....=0 由(1)(2)=> xyz=1
令 x^2+y^2+z^2=t
考慮這個變換計算
(x^3+y^3+z^3)y^3z^3=1+(z^3+y^3)y^3z^3=3(yz)^3---(4)
同理可得
1+(z^5+y^5)y^5z^5=15(yz)^5---(6)
和 1+(z^2+y^2)y^2z^2=t(yz)^2 ---(5)
讓(4)*(5) 可得
1+(z^2+y^2)z^2y^2+(z^3+y^3)(z^3y^3)+(z^5+y^5)(zy)^5+(zy)^7(z+y)=3t(yz)^5
開始用4式和(6)式以及(y+z)=-1/yz 和 z^2y^2(z+y)^2=1-2(yz)^3 爽爽替換上式
並且令yz=k 可得:
k^3+15k^5-k^6-3tk^5=0 既然yz不等於0 可以得到
k^3+3tk^2-15k^2+1=0---(7) 並且5式可以改寫成
2k^2+tk^2-2=0-----(8)
兩式作運算消掉tk^2可得
k^3+3k^2=1 =>2k^3-2=-6k^2 把此式帶到(8)可得 :tk^2=6k^2 ==>t=6
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