Re: [其他] 一階ODE 全微分法

[zi6ru04zpgji (分說 不分說 不由分說)]

※ 引述《cos3242 (一生懸命)》之銘言：
: 不好意思一直重複發問...剛在學全微分
:       2       2
: 1.y'=y -2xy +x + 1
:               2
:      2       y        2
: 2.(3x y+6xy+---)dx+(3x +y)dy=0
:              2
:            3
: 3.y'+2xy+xy =0
:               2
:          3  -x
: 4.xy-y'=y  e
: 5.(x-√xy)y'=y   註:xy都在根號裡
: 我需要grouping 其他方法我都會使用
1.
dy=y^2dx-2xydx+x^2dx +dx

d(y-x)=y(y-2x)dx +x^2dx

令u=y-x y=x+u dy=dx+du

du =(x+u)(u-x)dx +(x^2)dx

du= u^2dx

u^(-2)du=dx

1/u=x+c

1/(x+c)=u=y-x

y=x+1/(x+c)為顯函數解


3.

y'+2xy+xy^3 =0

dy+2xydx+xy^3dx=0

dy+yd(x^2)+0.5y^3d(x^2)=0

2dy+(2y+y^3)d(x^2)=0

  2
─── dy +d(x^2)=0
2y+y^3

  2y
───── dy + d(x^2)=0
y^2(2+y^2)

    y       -y
[─── + ────]dy + d(x^2)=0
  y^2     (2+y^2)

lny - 0.5 ln(2+y^2) +x^2 =c

     y^2
ln(────) + 2x^2=c   為隱函數解
    2+y^2


5.
(x-√xy)y'=y

xdy-sqrt(xy)dy=ydx

xdy-ydx=sqrt(xy)dy

       x
-y^2d(──) =sqrt(xy)dy
       y

令u=xy x=u/y

-y^2d(u/y^2)=sqrt(u)dy

    1       u        dy
──── d(──) + ─── =0
sqrt(u)     y^2     y^2

  y         u        dy
──── d(──) + ─── =0
sqrt(u)     y^2      y

       u
2sqrt(──) +lny =c
       y^2

       x
2sqrt(──) +lny=c 為隱函數解
       y

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