Re: [其他] 0的0次方

[xcycl (XOO)]

請看 http://www.faqs.org/faqs/sci-math-faq/specialnumbers/0to0/

well, 這是個老問題,
有很多點前人都談過了, 不需要浪費自己的生命重複話題。

摘要第一段

1. 有些微積分的教科書, 將 0^0 定成
"indeterminate form" 也就是這個表達式的極限，
並不能直接從表達式推得, 需要另外考慮，也可能是未定義。

2. 否則呢，定義 0^0 = 1 應該是最方便好用的選擇。

3. 以上這兩種選擇，視應用在哪個方面而選擇。

也就是說如果方便的話，在組合的計算定義 0^0 = 1 也無妨，只要說明清楚即可。
在分析學下定義 0^0 = 1 就不那麼方便。

關於 0^0 = 1 ，除了指數律以外，有幾個角度來看也合理。

首先第一個是 ordinal arithmetic [1]，在這個算數系統下，
0 是空集合，1 是 {0}, 2 是 {0, 1}, 3 = {0, 1, 2}, 以此推類。
而我們可以將 ordinal 分作三類（更精簡地其實是兩類）：

1. zero ordinal, 也就是空集合
2. successor ordinal, 是長成像是這樣的 a ∪ {a} (a 是某個 ordinal)
3. limit oridnal, 除了以上兩種的 ordinal，相等於所有比它小的 ordinal 的聯集

其中 a ∪ {a} 習慣上寫作 a + 1

在這套系統下，假設我們都知道怎麼定義加法乘法了，對任意 ordinal a, 指數是定義成

1. a^0 = 1
2. 若 c 是 successor ordinal, 也就是 c = b + 1 則 a^(b+1) = a^b * a
3. 若 k 是 limit ordinal, a^k 則是對所有 a^b (b < k) 的聯集

也就是說, 0^0 是 1, 並沒有排除在外。

第二個是集合的角度，類似上面的習慣，a^b 可以看做是 b 到 a 的函數空間,
而所有空集合為 domain 的函數只有空集合本身, 所以 0 到 0 的函數空間只有一個,
所以 0^0 同構於 1 （在集合上，同構的概念僅表示有一對一且映成的對應，也就是
cardinality 一樣，意義不大）

第三是範疇論 (這個看不懂很正常) [2], a + b 是 coproduct, a x b 是 product,
在 category of ordinals 下, 分別對應加法乘法, a^b 則對應 exponential object,
也就是指數, 所以我們推廣到一般的範疇下, a^b 的"表示"有兩種選擇,
一種是看作 b 到 a 的函數空間（若a, b 都是範疇 C 下的元素) 或是
internal hom, 這個比較複雜點我就不說了;
或者 b 是一個集合, 那麼 a^b 則是代表 a * a * ... * a 的 b-fold products,
也就是有 |b| 個 a 的 product, 具有 C(c, a^b) = Hom(b, C(c, a)) 的關係，
若 b 為空集合, 則 Hom(0, C(c, a)) = 1 = Hom(c, t) natural in c 也就是告訴我們
如果範疇 C 有 terminal object t 的話，a^b 同構於 t 。
通常會把 terminal object t 當作是 1 的（在許多範疇下是一個元素的object）。

我還可以再舉個邏輯跟電腦科學的角度，但其實透過
Curry-Howard-Lambek isomorphism [3]  跟上面這個其實一樣。

[1] T. Jech, Set Theory 3rd, Springer, 2006
[2] S. MacLane, Categories for Working Mathematicians 2nd, 1998
[3] J. Lambek and P. J. Scott, Introduction to Higher-order Categorical Logic,
 1988

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我一定是寫論文寫瘋了 ...
※ 引述《herstein (翔爸)》之銘言：
: ※ 引述《yee381654729 (Yee)》之銘言：
: : 底數為0時，指數律可以有條件成立。
: : 只要不遇到分母為0或0的負數次方，
: : 都可以成立。
: : 定義0^0=1在指數律是合理的。
: : x^0=x/x是不合理的。
: : 請問x=x^2/x嗎？
: : 定義0^0=1可以讓指數律在底數為0時有條件成立，
: : 並無不妥。
: : 這又不是證明。
: : 無法滿足0的負數次方，
: : 為什麼不說0無意義呢？
: : 定義負數次方是正數次方的倒數，
: : 就是為了讓指數律成立，
: : 難道不是倒果為因嗎？
: : N^0=N/N是你說的。
: : 為什麼不說N=N^2/N？
: : 理論都是人寫出來的，
: : 可以直接定義任何數的0次方為1，
: : 再定義別的。
: 0的零次方該怎麼定義其實不重要，因為目前的數學根本就用不到。
:                               (並不是真的把連續性無限上鋼)
: N^0=N/N，當N不為零的時候是定義，這是來自於指數律的觀察。
: 對，當N不為零時N^0 = 1的確就是來自於N/N。為何不在N=0時
: 定義N^0=1呢?這是為了避免討論0/0，在數學裡0/0是沒有意義的。
: 0是沒有乘法反元素。如果你在某個領域看到0^0=1，那應該只是為
: 了方便記成這樣，否則，照目前的數學來看，他沒有被定義的必要性。
: 既然目前的數學界傾向於不去定義他，這個問題就沒有爭論的必要性。
: 基本上一個沒有定義的東西，是可以人為定義的，你想怎麼定合理就
: 可以。有時候只是notation寫成那樣。

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XOO's http://xcycl.wordpress.com/

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 82.36.121.236
※ 編輯: xcycl           來自: 82.36.121.236        (11/26 09:58)
推 jacky7987   :可是我想同構跟他想要表達的數字1是有相當的差距XD
→ jacky7987   :他想要說的就是他真的是1
→ xcycl       :數字 1 在 axiomatic set theory 底下是 {0} :)
→ yee381654729:極限不存在，定義函數值，又不會產生什麼問題。
→ yee381654729:放任它不管，才是不方便，要用的時候也不敢用。
→ WINDHEAD    :是說我還真沒看過哪裡會用到 0^0 的..
→ WINDHEAD    :定義0^0=1的原因是將那兩個0看成同個範疇中的元素
→ WINDHEAD    :但也沒說一定要這樣看....
→ WINDHEAD    :所以大家都有共識覺得 0^0=1 無所謂,但也不會去強調
推 jack7775kimo:推~
→ josh28      :你自己也講了"又不會產生什麼問題" 相對的不特別強調
→ josh28      :他的定義也不會產生問題阿~倒是你是不是該解釋為什麼
→ josh28      :"放任它不管，才是不方便"?前面已經一堆人說過目前沒
→ josh28      :有需要用到的地方了 何來"要用的時候也不敢用"?
→ josh28      :現在是你在堅持0^0就必須是1 又說不出可以說服大家的
→ josh28      :合理理由 我倒是覺得回文的前輩們都太仁慈了  沒叫你
→ josh28      :回去反省還寫文章幫你上一上代數課
推 TassTW      :都喜歡數學 不用叫人去反省吧
→ TassTW      :倒是這個話題能引出人來講範疇觀點真是賺到了 xDDD
→ josh28      :我是指他的態度 不過你說的沒錯 我有點被激怒到了
→ josh28      :我是覺得他太自以為才不爽 不過講出這種話的我也有點
→ josh28      :變得太自以為了
推 h2o1125     :很厲害的觀點  對只會極限的人來說應該是看不懂
→ h2o1125     :後兩種定義方式感覺像在代數上定義{0}+N的指數型態
→ h2o1125     :從而直接避開負指數出現的問題 定義0^0就不會有特例
推 WINDHEAD    :這跟分析是不同的觀點,分析是考慮所有"可能的零"
→ WINDHEAD    :範疇觀點則是將兩個零限制在同一範疇下
→ WINDHEAD    :其實範疇厲害的還不只是定義0^0,他甚至還定義一個
→ WINDHEAD    :cardinality = e 的集合, 還可以玩group action等等
推 WINDHEAD    :不過範疇化的小缺陷是這樣很難定義"負數"
→ h2o1125     :恩 我的意思是 即使在這種觀點 仍然需要自行定義某些
→ WINDHEAD    :因為這樣會導致每個object都是initial
→ h2o1125     :如 通常會把 terminal object t 當作是 1
→ h2o1125     :以及定義本身已限制在∣b∣>=0
→ h2o1125     :我是覺得會把0^0未定義 主要是因為允許指數有負型態
→ h2o1125     :因為定義a^0=1的關係=>允許a^(0-1)表示inverse of a
推 WINDHEAD    :我覺得未定義的原因是量綱的問題....
→ h2o1125     :恩 不知道啥是量網 a^n不過就是我們自己定義的符號
推 WINDHEAD    :量綱就是單位啦XD
→ h2o1125     :將a^0定義成1 可以滿足方便性  如果只討論0+N的指數
→ h2o1125     :整個定義在0上就不會出現問題了
→ h2o1125     :會出現問題是我們將指數"符號"的運算 代替元素運算
→ h2o1125     :推廣到指數可以出現負數  出現0^0照理說要=0^(1-1)
→ h2o1125     :追根究底 要回到你怎麼定義a^N 以及a^0 與a^Z=>a^Q
推 Vulpix      :看到範疇真的是賺到了！
→ yee381654729:“允許指數有負數型態。＂這點對底數為0不成立。
→ yee381654729:要去避開的，是0的負數次方，不該把0^0連坐。
推 josh28      :......什麼叫做把0^0"連坐" 聽不懂
→ josh28      :還是你連人家說"inverse of a"都不知道是什麼意思?
→ yee381654729:(0^0)^2=0^(0*2),0^(-0)=1/0^0，定義0^0=1是合理的。
推 josh28      :....沒有人說定義0^0=1不合理 但是你寫的反而不合理
→ josh28      :因為我高興的話定義0^0=2這些一樣都是成立的
→ josh28      :那你還是沒說明0^0非得是1的原因阿!
推 chy1010     :推本文
→ josh28      :當然0^0很多人喜歡定義成1是很正常的 有很多各自的理
→ josh28      :由 但這些理由都不足以說他非得是1阿...
推 josh28      :這跟那個推廣使用tau來取代pi的完全不是同一層次
→ josh28      :而且"認為0^0不要定義比較好"的理由 前面h大跟W大都
→ josh28      :已經提出了自己的理由了 是不是先去看懂人家說啥比較
→ josh28      :好一點阿 只要求別人接受然後不去看別人說了啥 不覺
→ josh28      :得這樣有點不太禮貌嗎...
推 yee381654729:定義比較好，是為了讓它名實相符。
→ yee381654729:定義0^0=2，只是給自己找麻煩。
推 josh28      :"其它選擇都是荒謬的"這可是你自己說的 現在變成比較
推 condensed   :不需要浪費時間　語言必須一致才能溝通
→ josh28      :好就可以啦?
→ yee381654729:已經偷用0^0=1很久了，只是不願意承認而已。
→ josh28      :找麻煩又怎樣 同樣是違背直覺為什麼i就被接受了?
→ condensed   :簡單的說　民科的邏輯自成體系　討論不會有結果
→ yee381654729:偷用又不願意承認，當然是荒謬。
→ josh28      :....哪裡偷用了 我這輩子除了拿來作腦力激盪以外還真
→ josh28      :不知道哪裡用過了
→ josh28      :我倒是知道曾經有白目補習班出過這一題然後送分的
→ yee381654729:你高興也可以定義0!=2。
→ yee381654729:多項式的常數項是零次項，就是偷用。
→ josh28      :.....herstein大已經解釋的非常清楚了 拜託看一下
→ yee381654729:他解釋那套為了不定義0^0=1量身訂製的理論。
→ josh28      :可笑
→ yee381654729:建構出一套定義0^0=1的理論，對你們應該不是難事。
→ yee381654729:你們只是歧視它而已。
推 josh28      :都跟你說定義0^0=1也沒影響了 為什麼需要特別建構
→ josh28      :又是那套歧視理論zzzzzzz
→ josh28      :你有你自己的喜好是你家的事情 但是你真的是讓我又一
→ josh28      :次見識到"思而不學則殆"這句話的含意
→ josh28      :拜託 人家代數理論是一門發展很久很美妙的理論  好歹
→ yee381654729:說穿了就是因為不連續。
→ josh28      :翻翻看在來評斷別人說的話荒不荒謬嘛zzz
→ wickeday    :他不是沒翻，只是看不懂…
→ josh28      :其實我現在超怒的 因為我覺得這個人壓根瞧不起數學
→ josh28      :我學起來覺得很美妙的東西結果這人說我們學的東西是
→ josh28      :"荒謬"?
→ josh28      :學過一點算數就好像他很懂數學一樣 這件事真是荒謬
→ josh28      :讓我想到以前那位證明四色定理的天兵 無知
推 herstein    :不用生氣啦~~~重點是其他人能懂到底是甚麼一回事就可
推 condensed   :就算你把費爾茲獎得主請來也說服不了他
→ yee381654729:零次方與零次方，意義不一樣。要如何說服人？
推 josh28      :上過代數的不用去說服就自己被說服了啦 吵死了
→ yee381654729:其實只要做小修正，定義所有數的零次方都是1就好了
→ yee381654729:我並沒有全盤否定這些理論。
→ condensed   :不過這讓我想起　曾叱吒風雲出版宇宙四部曲的蔡某XD
→ josh28      :你既然這麼藐視這麼學問 那是還有什麼好說的
推 herstein    :哈哈~~推condensed...有好感
→ yee381654729:我沒有全盤否定，只要做個小修正。
→ herstein    :打錯了~~~是有同感~~~...
推 xgcj        :0^0 可以做重整化嗎?
推 josh28      :你根本不知道我們說的代數是什麼 是要修正什麼?
→ xgcj        :重整化之後 會變成 \0 0/
→ josh28      :就算你只用中學算數 整天扯二項式定理的零次項也很荒
推 herstein    :可能是0^0重整化之後會變成0.0或⊙ ⊙
→ josh28      :謬 你如果一項一項乘開去看的話最好0^0不是1會有差啦
推 xgcj        :我覺得 我跟你的重整化方法不一樣  ＠＠
→ yee381654729:0^0=(1-1)^0=C(0,0)*1^0*(-1)^0=1
推 herstein    :只要合理，甚麼樣的重整化都行呀XD
→ yee381654729:1=2^0=(2+0)^0=C(0,0)*2^0*0^0=1*0^0,0^0=1
推 condensed   :蔡某 娛樂價值(+∞)>>學術價值(0)>>教育價值(-∞)
推 xgcj        :0^0=0^(1-1)=0^(0^0-1)=0^(0^(0^0-1)-1)=...........
→ xgcj        :0^(0^(0^0-1)-1)=0^(0^(0^(0^(.........-1)-1)-1)-1)
→ condensed   :同理可證  p.s. 這是很好的調劑 請別搞錯方向了 :P
→ wickeday    :一寫東西就顯示出自己的程度，連二項式定理都寫錯。
推 josh28      :天才 你寫的會對的話那連wiki的二項式定理證明都是錯
→ josh28      :的了耶 要不要重新證明一下阿zzz
→ josh28      :還是0什麼時候變成正整數了我不知道?
→ josh28      :我要收回我說的話 不要去看代數 你先備知識不夠的
推 yuyumagic424:數學板好可怕喔 程度不夠會有些人極盡所能地酸、叫罵
→ josh28      :阿 對不起 這點我得道歉 因為我前面跟他的對話有點被
推 condensed   :真的喔 物理板也好可怕喔 某蔡和某Discovery提出革命
→ josh28      :他弄到發怒了 有點失去理智 抱歉
→ condensed   :性的理論 都被批的體無完膚XD她們的精神與勇氣真偉大
→ condensed   :我覺得和先備知識不一定有關係啊
→ condensed   :不是每個先備知識不夠的人 都會變成某蔡
推 xgcj        :對啊!Discover還直接罵人QQ
推 condensed   :我期待數學板即將面對的衝擊--東方數學四部曲
推 hanabiz     :蔡好像有打算出微積分的書耶
推 bohsing     :應該請yee381654729板友,PO一下到底要用在哪裡
→ bohsing     :不定義又會在哪裡遇到什麼嚴重的問題
→ bohsing     :一直亂放話,卻又提不出證據,這樣是很沒品的行為
→ bohsing     :不如把你的論述另開一篇專文,讓大家開開眼界吧
→ bohsing     :不然,yee381654729的話應該也就沒有回應的價值了
→ calvin4     :即刻起，請停止在本文推文！