Re: [分析] 高微一題(Generality & question)

[znmkhxrw (QQ)]

首先，定義域要是開連通集比較好，不然在邊界點時，對其展開後，

如果要對它微分，只有單邊極限，Wiki上給的解析函數的定義也是定義在開連通集。

Definition：(R：Real numbers , C：Complex numbers)

Let U is an open connected set in R(C) , f：U→R(C)

we say f is an analytic function

if for every point in U ,there exists a nbd. in U

   s.t. f can be expressed a power series in this nbd.

                          ∞
(∀a∈U, ∃r_a, s.t. f(z)=Σ a_n*(z-a)^n ,∀z∈D(a;r_a))
                          n=0

因為D(a;r_a)是開集合，再藉由冪級數的均勻收斂性(在緊緻子集下)

以及微分後的收斂半徑不會改變(從定義知，收斂半徑至少是r_a)

            f^(n)(a)
可以推得a_n=────，此結果也推得f是C^∞
               n!
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接下來我都選用C，R也是對的
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jacky大在推文中說到，非零函數的解析函數的零點一定是孤立的

題目就是要證這件事情，也就是說，若零點不孤立的解析函數，則必是零函數

<Lemma> f：U→C is analytic function , E is a subset in U

        if f(E)=0 , L(E)∩U is nonempty

        then ∀e∈L(E)∩U , f(z)=0 , ∀z∈D(e;r_e)

             ("r_e" equals to the def. of analytic function)

<pf> Suppose not!
                                   ∞
     Then ∃e∈L(E)∩U , s.t. f(z)=Σ a_n*(z-e)^n is not all zero on D(e;r_e)
                                   n=0

     so ∃a_p, p∈N s.t. a_0=a_1=...=a_(p-1)=0 , a_p≠0

                ∞                      ∞
     Hence f(z)=Σ a_n*(z-e)^n = (z-e)^pΣ a_n*(z-e)^(n-p) = (z-e)^p * g(z)
                n=p                     n=p

     where g(z)=a_p + a_(p+1)*(z-e) +....

     so g(e)=a_p≠0

     Since g is continuous on D(e;r_e) (∵ f is C^∞)

     so ∃nbd of e ( N(e) ), s.t. g≠0 on N(e)

     Hence we have f(z)≠0 on N(e)-{e}

     This contradict "e is the limit point of E in U with f(E)=0"

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現在我們有：如果在U中存在一群零點，且其聚點也在U裡面，

            則對於此聚點所展開的冪級數會是零函數

現在要證明這個零瘟疫可以感染到整個U，也就是jacky大證的相對開閉集

因為點集拓樸裡我們有：一個連通集合的"非空"子集如果相對於原集合是開集也是閉集時

                      則這個子集就是原集合

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<Theorem> f：U→C is analytic function , E is a subset in U

          if f(E)=0 , L(E)∩U is nonempty

          then f(U)=0

          (等於是Lemma的加強版)

<pf> Let A={a∈U│f^(n)(a)=0 , ∀n∈N}

     1. Since L(E)∩U is nonempty , by <Lemma> , we know ∀e∈L(E)∩U,

        f^(n)(e)=0, ∀n∈N

        so A is nonempty

                      ∞ f^(n)(a)
     2. ∀a∈A , f(z)=Σ ────*(z-a)^n , ∀z∈D(a;r_a)
                      n=0   n!

        where f^(n)(a)=0, ∀n∈N

        so f(z)=0, ∀z∈D(a;r_a)

        Since D(a;r_a) is open set

        so taking derivative, we have f^(n)(z)=0, ∀z∈D(a;r_a)

        Hence D(a;r_a)⊆A , this imply A is open in U

     3. ∀a∈L(A), ∃a_k∈A, ∀k∈N , s.t. a_k converges to a

        (L(A)的等價定義：存在一個處處不相等的數列趨近於該點)

        Since f is C^∞ on U

        so f^(n)(a) = f^(n)( lim  a_k) =  lim f^(n)(a_k) = lim 0 = 0 (∵a_k∈A)
                            k→∞        k→∞            k→∞

        Hence a∈A , this imply A is closed in U

Finally, Since U is connected , from 1.to 3. , we have U=A

so f(U)=0
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我一直想問的問題就是：沒用相對開閉集做得出來嗎？

或是有什麼想法，因為根據解析函數可以小範圍(雖然複變證它範圍到邊界)展開，

以及解析函數是C^∞，我們知道這個零瘟疫可以一直拓一直拓，例如在D(e;r_e)是

零函數時，因為C^∞的性質，在cl(D(e;r_e))也是零函數，之後再根據<Lemma>，

在邊界點又可以長出一個小範圍的零點，這樣一直長下去。

但是他長的大小不一定能到全部阿！如果越長越小，很容易就造出不會到全部的例子了。

可是用連通集的概念，加上冪集數，就能證他確定能長到全部。

只是想問說...是冪級數的什麼性質確保了這件事嗎？

不用相對開閉集的話，有其他方法去說明會長到全部嗎？

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◆ From: 1.169.131.83
推 chy1010     :所以一開始就希望他長到最大 XD 長到不能長
→ chy1010     :所以長到最大就是全部, 不是全部就可以再往外推
→ chy1010     :我想往外推到最大這件事情就是相對開閉的精神了 @@
→ znmkhxrw    :可是我在用相對開閉集證明時，也沒有用到收斂半徑是
→ znmkhxrw    :到邊界的條件呀~~應該說從頭到尾我都沒用到那麼
→ znmkhxrw    :強的收斂半徑
→ chy1010     :在收斂半徑內的都能夠保持同一個表示式吧 @@
→ chy1010     :長到全部也只是長到收斂半徑內而已, 沒全部就能推
→ chy1010     :然後如果踩在邊界, 那展開的表示式就要換了 @@
→ chy1010     :才能再延拓出去
推 jacky7987   :推~ 我的複變課本用英文寫了所以我那時候懶得看XD
→ jacky7987   :不過多複變的時候很多事情都會錯真是讓人討厭XD
推 jacky7987   :這種想法就有點像是微方那種解要拓的時候 要確保她
→ jacky7987   :不會爆炸(這邊是0點) 可以的話又可以在拓一點點
→ jacky7987   :類似那種感覺 如果把Lip.condi想成這邊的解析
→ jacky7987   :會覺得蠻像的
推 jacky7987   :如果在整個定義區間都可以解析 想當然而就會一樣
→ jacky7987   :就像解在區間滿足Lip可以拓到整個定義區間一樣的感覺
推 jacky7987   :就像y'=y;y(1)=1這個解1/x往也只能拓到0+ 但是右邊可
→ jacky7987   :爽拓到哪就到哪 在證明的過程可以知道往左拓的最大
→ jacky7987   :值 是1/4接下來就越來越小XD
推 jacky7987   :回到主題 這就得扯到每次拓的大小了
推 jacky7987   :至於0點的延拓可能 我就不是專長了(攤手