推 zxc25678 :謝謝!!都快忘記有歸納法了.. 11/27 16:06
※ 引述《zxc25678 (QQ桑)》之銘言：
: 若L[f(t)]=F(s)
: 則L[t^nf(t)]=(-1)^nF^(n)(s)
: 依照定義去解,光第一關積分就卡住了orz..
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d^n
L[t^nf(t)]=(-1)^n ------F(s)
ds^n
1.n=1時:
d d ∞ -st ∞ ∂ -st ∞ -st
--- F(s)= ---∫ e^ f(t)dt =∫ ---e^ f(t)dt= - ∫ t e^ f(t)dt=-L[tf(t)]
ds ds 0 0 ∂s 0
知:n=1時成立
ps:1.這邊假設f(t)夠良好,故可以交換微分跟積分
2.這裡用"∂"表示偏微分的符號
d^k
2.假設n=k時成立,即 L[t^kf(t)]=(-1)^k------F(s)
ds^k
則n=k+1時, d d^k d^(k+1)
L[t^(k+1)f(t)]=L{t (t^kf(t)) } = - ---{-(-1)^k------F(s)}=(-1)^k+1--------F(s)
ds ds^k ds^(k+1)
故n=k+1時亦成立
所以由數學歸納法得證
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