Re: [微積] 問個很無聊的問題

[dogy007 (dogy007)]

※ 引述《djljing (娛樂金魚眼)》之銘言：
:  在翻微積分課本時發現這題
: 0=1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)+........
:  =[1+(-1)]+[1+(-1)]+[1+(-1)]+[........
:  =1+[(-1)+1]+[(-1)+1]+[(-1)+......
:  =1
: => 0=1 #
: 書上問說這哪裡有問題?
: 記得好像在級數那章
: 有人知道嗎?
: "學數學最重要是開心與否"
前面提了，這級數其實有些名氣，有興趣的人自己去看 wiki
這裡想說的是，自從牛頓和萊布尼茲以來，
微積分/數學分析發展迅速，但是由於對於極限，一直都是直觀的看法
所以也衍生了不少問題，上面級數是一個問題
Euler 曾經也被一些不收斂的級數困擾過，即使到了 Fourier 的時代，
都還為這些問題困擾

不過， Cauchy 最早開始用 episilon-delta 論證
Bolzano 做了一些工作
最後 Weierstrass 給出了今天我們用的極限定義，給了微積分堅實嚴格的基礎
所以今日讀過高微甚至微積分的人都很清楚上面級數的問題

不過歷史上，有人認為那是 1, 有人認為是 0, 還有人認為取中值 1/2
有人認為像 1+2+4+8+... 是魔鬼的作品，數學家應該敬而遠之(註)
即使 Cauchy 都曾經證明了下面的 "定理"

如果 f_n(x) 是連續函數 on [a,b], f_n(x) 逐點收斂到 f(x)
則 f(x) 也是連續函數

現在讀過高微的學生，都清楚上面"定理"是錯的，但在 Cauchy 的時代
數學家還搞不清楚逐點收斂/均勻收斂，連續/均勻連續等概念的差異

註: 1/(1-x) = 1 + x + x^2 + .....
用 x =  2 帶入得到 -1 = 1 + 2 + 4 + 8 + ....
有人可能會懷疑以前數學家怎會搞這種飛機？
其實看看牛頓時代怎麼算微分的？
以 x^3 為例， 考慮一個無限小量 dx
(x+dx)^3 - x^3 = 3x^2dx + 3x(dx)^2 + (dx)^3
因為 dx 是一個無限小量，所 3x(dx)^2, (dx)^3 都可以視為 0
所以 x^3 的微分為 3x^2dx
同時代的人就質疑究竟 dx 是否為 0, 如果是 0 , 那所謂微分就是 0,
如果不是那 3x(dx)^2, (dx)^3 也不會是 0, 怎可以拿掉
數學家對於這樣的問題，一直無法回答，一直到 Weierstrass 建立嚴格分析
無限小量 dx 這樣的幽靈終於被逐出數學的殿堂
當然這不是故事的結尾
1960 年代, Abraham Robinson 建構了一個用無限小的嚴格分析體系，
無限小又回到數學殿堂裡，而且是嚴格的，不是時有時無的幽靈，
這套體系稱做 Non-standard analysis 。
不過這東西顯然比起 standard analysis 要難得多了，嗯，至少我認為如此

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◆ From: 220.132.177.99
推 WINDHEAD    :1+2+4+8+... 這個反而簡單因為在2-adic收斂
→ APM99       :樓上你應該早個幾百年生的  肯定是數學大師
推 WINDHEAD    :我想表達的是這個級數跟無限小量爭議沒什麼關係
→ WINDHEAD    :因為他只要換個拓樸就變成收斂級數了,但是有很多
→ WINDHEAD    :發散級數的處理比這個更複雜也曾引起更多爭議
→ WINDHEAD    :後人本來就應該站在更高更健全的觀點來看事情,
→ WINDHEAD    :不然就枉費了前人苦心了
推 jacky7987   :推~ 學越多數學知後就覺得在不同的世界裡面做數學
→ jacky7987   :感覺真的蠻不同的XD
推 linpotso    :版上有一堆高手阿
推 ntust661    :推!