[高微] 證明數列收斂

[IminXD (Encore LaLa)]

題目:Let Sn be a bounded sequence of real numbers. Assume 2Sn≦S_n-1 + S_n+1

     Show that  lim ( S_n+1 - Sn ) = 0
               n->∞



我的作法是這樣..

Let a_n+1 = Sn+1 - S_n

If 2Sn ≦ S_n-1 + S_n+1

=> Sn + Sn ≦ S_n-1 + S_n+1

=> Sn - S_n-1 ≦ S_n+1 - Sn

=> a_n ≦ a_n+1

==> <a_n> is a increasing seq.


Sn + Sn ≦ S_n-1 + S_n+1

=> Sn - S_n+1 ≦ S_n-1 - Sn

Since Sn be a bounded sequence， |Sn| ≦ M   with M€R          ((屬於不會打QQ

=> |a_n+1| ≦ |Sn - S_n+1| ≦ |Sn| + |S_n+1| ≦ 2M

=> <a_n> is bounded


Cause <a_n> is increasing and bounded above

=> <a_n> converges



後面的部份我不知道該怎麼證明lim (S_n+1 - Sn) = 0

初步的想法是suppose > 0  和 < 0 ，兩個地方都錯，然後 =0 得證

但是不會下手XDD



還有一開始的let  a_n+1 = S_n+1 - Sn

這地方不知道可不可以這樣直接用

因為題目要我找S_n+1 - Sn，所以就直接引用數列的想法令a_n+1

但不知道是否有額外條件夠不夠嚴謹等等的..


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◆ From: 220.136.188.46
推 s3300046    :你可以試試看這樣寫:已經知道a_n有極限了，且Sn有界
→ s3300046    :所以存在Sn的一個子序列Sn_j收斂到某個S，所以
推 s3300046    :就可以推得說a_n會收斂到0這樣，也就是S_n+1 - Sn
→ c76068      :若存在某n,使a_n>0 ,則Sn發散, 故0為a_n之上界
→ c76068      :若a_n 之上界<0, => Sn發散 ,任何小於0的數都不可能
→ c76068      :是a_n的上界, a_n為遞增 ,a_n收斂到0
推 s3300046    :a_n會是一個恆負且上升到0的數列，否則Sn不可能有界