Re: [高微] 證明數列收斂

[IminXD (Encore LaLa)]

今天想了一下，做a_n會卡，所以乾脆用Sn來做試試看

上半部一樣
: If 2Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn + Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn - S_n-1 ≦ S_n+1 - Sn
: => a_n ≦ a_n+1

Since S_n+1 = Sn + a_n+1

=> Sn is increasing and bounded above

=> lim Sn = M  exists
  n->∞

for all ε> 0 , there is a k€N ，s.t. |Sn-M|<ε/2  for all n≧k

|S_n+1 - Sn|=|S_n+1 -M +M -Sn|≦|S_n+1 -M|+|M -Sn|≦ε/2 + ε/2 = ε

=> lim ( S_n+1 - Sn ) = 0
  n->∞


感覺這樣寫就可以了..不知道這個方向的想法是否正確?


※ 引述《IminXD (Encore LaLa)》之銘言：
: 題目:Let Sn be a bounded sequence of real numbers. Assume 2Sn≦S_n-1 + S_n+1
:      Show that  lim ( S_n+1 - Sn ) = 0
:                n->∞
: 我的作法是這樣..
: Let a_n+1 = Sn+1 - S_n
: If 2Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn + Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn - S_n-1 ≦ S_n+1 - Sn
: => a_n ≦ a_n+1
: ==> <a_n> is a increasing seq.
: Sn + Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn - S_n+1 ≦ S_n-1 - Sn
: Since Sn be a bounded sequence， |Sn| ≦ M   with M€R          ((屬於不會打QQ
: => |a_n+1| ≦ |Sn - S_n+1| ≦ |Sn| + |S_n+1| ≦ 2M
: => <a_n> is bounded
: Cause <a_n> is increasing and bounded above
: => <a_n> converges
: 後面的部份我不知道該怎麼證明lim (S_n+1 - Sn) = 0

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.42.91.161
推 s3300046    :其實Sn不會是遞增的，因為每個a_n都是負的
→ IminXD      :但是我知道a_n ≦ a_n+1 而S_n+1 = Sn + a_n+1
→ IminXD      :後一項一定比前一項還要大  累加上去..
→ IminXD      :題目已知有界，所以從遞增、有上界=>數列收斂  著手
推 s3300046    :你要加正的數字上去sn才會越來越大，但a_n是恆負的
→ s3300046    :所以Sn是遞減有下界這樣
所以我在用Since S_n+1 = Sn + a_n+1就該先討論嗎?

if a_n ≧ 0，S_n+1 = Sn + a_n+1 for all n€N

=> Sn is increasing and bounded above

if a_n < 0，S_n+1 = Sn + a_n+1 for all n€N

=> Sn is decreasing and bounded below

and so lim Sn = M  exists


如果這樣子寫呢?  因為我從式子裡面看不出來a_n是恆負這件事阿QQ
※ 編輯: IminXD          來自: 114.42.91.161        (11/29 22:33)
推 herstein    :no....not correct....
→ IminXD      :為什麼@@
推 s3300046    :18035篇的推文中有說明