Re: [高微] 證明數列收斂

[Sfly (topos)]

Let A=lim( s(n+1) - s(n) ), which exists by the assumption,
and suppose |s(i)|<B for all i.

Let m be any natural number, then
            m-1
s(n+m)-s(n)=sum (s(n+i+1)-s(n+i)).
            i=0

Take lim on n, lim(s(n+m)-s(n)) = m*A.
So m|A| <= 2B, for all m.

Hence A=0.


※ 引述《IminXD (Encore LaLa)》之銘言：
: 題目:Let Sn be a bounded sequence of real numbers. Assume 2Sn≦S_n-1 + S_n+1
:      Show that  lim ( S_n+1 - Sn ) = 0
:                n->∞
: 我的作法是這樣..
: Let a_n+1 = Sn+1 - S_n
: If 2Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn + Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn - S_n-1 ≦ S_n+1 - Sn
: => a_n ≦ a_n+1
: ==> <a_n> is a increasing seq.
: Sn + Sn ≦ S_n-1 + S_n+1
: => Sn - S_n+1 ≦ S_n-1 - Sn
: Since Sn be a bounded sequence， |Sn| ≦ M   with M€R          ((屬於不會打QQ
: => |a_n+1| ≦ |Sn - S_n+1| ≦ |Sn| + |S_n+1| ≦ 2M
: => <a_n> is bounded
: Cause <a_n> is increasing and bounded above
: => <a_n> converges
: 後面的部份我不知道該怎麼證明lim (S_n+1 - Sn) = 0
: 初步的想法是suppose > 0  和 < 0 ，兩個地方都錯，然後 =0 得證
: 但是不會下手XDD
: 還有一開始的let  a_n+1 = S_n+1 - Sn
: 這地方不知道可不可以這樣直接用
: 因為題目要我找S_n+1 - Sn，所以就直接引用數列的想法令a_n+1
: 但不知道是否有額外條件夠不夠嚴謹等等的..

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◆ From: 76.94.119.209
→ IminXD      :Take lim on n, lim(s(n+m+1)-s(n)) = (m+1)*A. 不懂
推 s3300046    :一開始假設A的時候極限不一定會存在，而且讓n趨近到
→ s3300046    :無窮大的時候極限也不知道會不會存在
→ Sfly        :well,..第一篇已經知道極限存在
推 s3300046    :喔喔好XD
※ 編輯: Sfly            來自: 76.94.119.209        (11/30 01:14)