[其他] 二項式定理與多項式

[yee381654729 (Yee)]

二項式定理：
在定義0^0=1的前提下，
(x+y)^n
=ΣC(n,k)x^k*y^(n-k){k=0到n}
x,y為複數，n為非負整數。
公式寫得乾淨俐落。
在不定義0^0=1的前提下，
n只能為正整數，
公式要如何寫才正確？

多項式：
對於項次為n+1項之多項式，
c[0]+c[1]*x^1+c[2]*x^2+...+c[n]*x^n
n為非負整數。
在定義0^0=1的前提下，
上式=Σc[k]*x^k{k=0到n}
在不定義0^0=1的前提下，
公式要如何寫才正確？

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.32.222.178
推 jacky7987   :持續跳針(死
→ dogy007     :一句話，I don't care.
→ josh28      :還是一句早就說過的 x^0=1和0^0=1截然不同 不可混淆
→ simonjen    :二項式定理的n似乎是正整數 不是非負整數!
我已經讓它是正整數了，然後公式怎麼寫？
→ josh28      :至於您能不能接受就不干咱們的事情了 數學並不需要去
→ josh28      :要求所有人都能接受它的表示法才能成立
→ simonjen    :證明方式是數學歸納法??(好像是 年代久遠)
→ simonjen    :至於多項式你如果看不慣x^0 那可以這麼做
→ josh28      :更何況定理的存在不是為了它乾淨俐落而存在的 所以你
→ simonjen    :c[0] + Σc[k]*x^k{k=1到n}
錯，再思考得縝密一點吧。
→ josh28      :的問題坦白說我不覺得需要刻意去調整讓x^0代換成0^0
→ josh28      :之後對所有形式都可以寫的很漂亮 如此而已
※ 編輯: yee381654729    來自: 122.116.222.246      (11/30 12:34)
→ bineapple   :這位先生持續來討戰又聽不下別人的話 請版主桶了
→ josh28      :看不出來哪裡是錯的..該不會您連足碼都硬要跟次方拉
看不出哪裡錯。Σa[k]{k=1到0}=a[1]+a[0]
錯在這裡。
→ josh28      :在一起了吧?那這問題已經大到令人啼笑皆非了
※ 編輯: yee381654729    來自: 122.116.222.246      (11/30 13:02)
→ josh28      :您的問題已經類似於要求別人去證明定義是對的了
→ josh28      :那我不知道這種話題還有任何繼續下去的必要
討論不定義是否不方便。
當然沒有證明定義對的這回事。
※ 編輯: yee381654729    來自: 122.116.222.246      (11/30 13:03)
→ josh28      :k=1到0.....我不知道我現在是要吐槽還是要做什麼
→ josh28      :如果要討論不定義是否不方便 那話題早就結束了阿
→ josh28      :請回頭去看herstein學長的回文裡的連結 裡面的確有說
→ josh28      :有數學家認為既然我們要讓二項式定理寫成這樣 那就讓
→ josh28      :0^0=1 才是一個合理的定義
→ josh28      :目前會變成未定義單純就是支持未定義的理由比較讓人
→ josh28      :能夠接受而已 而且換個地方 至少在計算機科學的領域
→ josh28      :0^0=1是一件合理的事情(google計算都會告訴你是1)
→ josh28      :而且理由很充分 我不太清楚這還有什麼好討論下去的?
→ josh28      :今天如果你的理由是"現在大家根本離不開電腦 那電腦
→ josh28      :裡面定義成0^0=1而人類卻說他是未定義是不好的" 我反
→ josh28      :而覺得這還算是有得討論的理由
→ josh28      :只是如果要用純數學的角度去討論 您的理由完全就是建
→ josh28      :立在您的數學知識不夠充分而形成的誤解而已
→ josh28      :基本上我覺得沒有什麼繼續下去的必要
→ yee381654729:這些都是高中用得到的公式。
→ josh28      :嗯?我看不出來這句話是什麼意思
→ josh28      :去定義一個東西或不定義一個東西應該是為了數學上的
→ josh28      :原因而不是為了給高中生方便吧?
推 jacky7987   :k=1~k=0是哪招XDD
→ josh28      :還是說數學家選擇讓它不定義必須要說明到連高中生都
→ josh28      :會懂?不過其實我是覺得herstein學長的回文高中生程度
→ josh28      :應該也是可以懂的 可能某些名詞要查一下而已
→ wickeday    :不說別的，n=0的二項式定理不是那樣。
→ yee381654729:公式就是要能代入數字進去才叫公式。
→ yee381654729:不能代數字進去的公式...嘗試理解中。
→ wickeday    :你還不知道自己的二項式定理哪裡錯嗎？
→ yee381654729:錯在哪裡？
→ josh28      :第一千零一次講這句話 : x^0=1和0^0=1不可混淆
→ josh28      :回頭看二項式定理 直接乘開之後本來就沒有x^0那一項
→ josh28      :你當然可以complain既然數學家把x^0引入以後寫成定理
→ josh28      :就應該要讓x^0是個可以帶值進去算的函數
→ josh28      :但是現實情況就是x^0=1完全跟0^0=1是兩回事情 不然也
→ josh28      :不會有共識說0^0是未定義了
→ yee381654729:公式不能代入數字進去????!!!!
推 jacky7987   :恩對阿你發現了嗎
→ josh28      :x^0就是一個notation而已 是要帶什麼東西進去...
→ josh28      :這個notation就是1 就只是為了讓二項式定理的形式成
→ josh28      :立而寫的 我反而不能理解這東西難理解在哪裡
→ bineapple   :公式不能代0進去有什麼好驚訝的 不懂
→ yee381654729:連公式都不能代數字進去。
→ yee381654729:除了是為了不定義0^0=1量身訂製的說法，還有什麼解釋
→ yee381654729:沒聽過有這種事。
→ yee381654729:定義0^0=1，就可以代數字進去了，難道不會更合理？
→ josh28      :我覺得 這是國文老師該負責的部份了
→ yee381654729:不知如何理解接受這種觀念。
→ josh28      :不需要理解 二項式展開本來一開始就沒有x^0
→ josh28      :用你的話來說就是 定義一個x^0=1 就可以把二項式定理
→ josh28      :寫成這樣整齊漂亮的形式了
→ josh28      :我反而不能理解什麼叫做為了不定義0^0=1量身訂製
→ josh28      :我也無法理解會有數學家在發展理論的時候會為了一個
→ josh28      :無關痛癢的東西來調整自己的理論
→ yee381654729:二項式定理為何只對正整數次方成立，零次不成立？
→ josh28      :事實上0^0=1 "也可以" 只是數學家並沒有覺得比較合理
→ josh28      :坦白講 我根本不care零次成不成立...
→ yee381654729:也可以是廢話，有什麼定義是“不可以＂？
→ josh28      :就算退一萬步只論高中以下的數學計算 你遇到像1003^0
→ josh28      :根本也不會拆成(1000+3)^0去計算....
→ josh28      :隨便亂舉例 1/0定義成2不就絕對不可以了...
→ josh28      :也可以絕對不是廢話 因為會有這種模稜兩可的說法正是
→ josh28      :0^0目前為止毫無用處的直接結果
→ josh28      :而且就算退個一千萬步好了 就讓f(x)=x^0 (雖然我覺得
→ josh28      :這個方程很愚蠢) 那就直接讓0不在定義域而已罷了
→ josh28      :我不太清楚可以接受1/x只有0不在定義域為什麼不能接
→ josh28      :受有一個函數只有0不在定義域而其他函數代值進去都是
→ josh28      :1是為什麼
→ yee381654729:除了a^0=1以外，還有什麼公式不能代數字進去的例子？
→ josh28      :當然你不接受那也無仿 你就直接定義0^0=1就好了
→ josh28      :只是數學家普遍不接受你的定義而已
→ josh28      :a^0就只是個notation...跟為什麼大家用x y不用ㄅㄆ差
→ josh28      :不了太多
→ josh28      :這東西當然沒有什麼代不代數字進去的問題 他就是1
→ josh28      :你如果很執著x^0必須是個完美定義在整個複數域上的函
→ josh28      :數的話 那你就讓0^0=1阿 沒有任何人阻止你
→ josh28      :只是我不接受 大部分的數學家也似乎不接受而已
→ josh28      :而如果 假設 萬一 真有一天0^0=1變成了真理(大概機器
→ josh28      :人統治世界的時候吧) 那你更完全不用特別說服到我們
→ josh28      :都接受阿 地球是圓的當初還不是被當成歪理
→ josh28      :就像是"公式"兩個字 你要執著於必須能帶複數域裡面的
→ josh28      :數字進去的才能用這個官方名稱"公式" 那也由得你
→ josh28      :但是我隨便舉個例 我發明一條公式叫做男性社會公式好
→ josh28      :了 定義域只有兩個"值":男性 女性 男性帶進去得到"
→ josh28      :皇帝" 女性帶進去得到"平民" 這也算一條公式阿
→ josh28      :當然這公式很蠢就是了 我只是想說明這根本稱不上問題
→ josh28      :因為我們的二項式定理裡面x^0真的就只是1的另一個表
→ josh28      :式法而已(一千零二次重提:x^0=1和0^0=1不可混為一談
→ josh28      :by herstein學長)
→ bineapple   :請分清楚"不能代數字"和"不能代全部實數"的差別好嗎
→ bineapple   :a^0=1不能代0 不代表不能代其他實數
→ bineapple   :而且不能代全部實數的函數的例子實在太多了
→ bineapple   :或許你應該要去重新弄明白何為"函數""domain"之類
→ simonjen    :你才要搞清楚你要做啥吧!!!
→ simonjen    :n+1次多項式 至少要一次 哪來的常數多項式!!!
→ simonjen    :哈!!原來你打的是一項之多項式 = =
→ simonjen    :哪時候數學有這一個名詞了 = =
→ simonjen    :那一項可以是 x 也可以是 x^2 也可以是......
→ simonjen    :這些都是一項 請問 你的n+1項是哪一個n+1項??
→ yee381654729:bineapple,既然a^0=1不能代0，請把公式重寫。
→ yee381654729:simonjen,n+1項我已經列出是哪些項了。
→ simonjen    :f(x)=c[0] if n = 0
→ simonjen    :     c[0] + Σc[k]*x^k{k=1到n}  if n>= 1
→ simonjen    :還有 請自行把何為定義域弄懂吧 R不一定要是定義域
→ simonjen    :其實這樣寫也是麻煩 不如(c[0],c[1].....,c[n])
→ yee381654729:多項式寫出來了，還有二項式定理。
→ yee381654729:既然R不是定義域，公式就不能這樣寫。
→ simonjen    :( C(n,0) , C(n,1)....., C(n,n) )  n >= 1
→ simonjen    :用向量表示根本和代值x沒關係 主要是基底的選取
→ simonjen    :哪來的定義域 = =
→ simonjen    :不過其實沒必要說服你為什麼 0^0不需要定義
→ simonjen    :要的是你說服不想接受的人 為什麼0^0要定義不可
→ bineapple   :R不是定義域就不能這樣寫? 你這種話是能說服誰啊?
→ bineapple   :那一堆函數不能代0點 不能代負數 是不是也要改寫法了
→ yee381654729:二項式定理中(x+y)^n並沒有限制x,y不可代0進去。
→ yee381654729:除非定理加上這條限制，公式才正確。
→ bineapple   :是啊 要寫成sum的形式就要加條件 請記好
→ yee381654729:應該跟寫課本的人講吧，跟我講沒用。
→ simonjen    :怎麼覺得原PO賴皮起來了 XD
→ TRAP        :就跟他說的一樣啊 跟他講沒有用
推 noborukun   :有點懷疑原PO的數學程度到哪裡…高中生嗎？
→ yee381654729:公式有問題，我不能提出來討論嗎？
→ yee381654729:怎麼別人都沒提出來？
→ yee381654729:之前公式都沒註明x,y不可為0，就把公式那樣寫。
→ yee381654729:偷用0^0=1，又不承認，這才是賴皮。
→ bineapple   :喔...那你趕快發paper去期刊來糾正世人啊 告訴大家說
→ bineapple   :你們都賴皮 二項式定理都偷用0^0=1