[線代] 關於無限維度空間的基底

[pennyleo (我做了不可原諒的事)]

一個N維的hermitian矩陣，其必定具有N個互相正交的eigenvector
而這N個eigenvector可用來展開N維空間


另外其具有以下的等式

SUM(1~n)∣a(k)><a(k)∣ = 1

∣a(k)>表第k個正交化後的eigenvector

而<a(k)∣表∣a(k)>取共顎轉置後的向量

以上為有限維度



但考慮一無限維度矩陣 其eigenvector∣b(k)>互為正交

則若要寫出類似如上有限維度矩陣的等式


則是∫ ∣b(k)><b(k)∣  d(b) = 1  其中d(b)的b表eigenvalue

還是∫ ∣b(k)><b(k)∣g(b)  d(b) = 1

g(b)表單位eigenvalue中,eigenvector分布的密度函數


我看過許多書上都是寫第一種

但我不太明白
明明是對於整個eigenvalue做積分
照理來說不是應該要考慮單位eigenvalue中,eigenvector的密度嗎?


煩請知道的人回答
謝謝



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 134.208.23.94
推 Vulpix      :只問你一個問題：<b(k)|b(k')>是什麼？
是0，取|b(k')>互相正交就是0  不是嗎..
→ Vulpix      :重點當然是問k=k'的時候啊……
喔  是delta(k-k')
→ Vulpix      :那就是第一種了 1|b(k')> = ∫|b(k)><b(k)|b(k')>dk
這樣講的話是沒錯..但我還是不明白，為什麼第二種不成立.....
※ 編輯: pennyleo        來自: 134.208.23.94        (12/02 20:57)
→ Vulpix      :這樣的話，|b(k')>=g(b(k))|b(k')>，然後得到g=1。
→ Vulpix      :這樣的話，|b(k')>=g(b(k'))|b(k')>，然後得到g=1。
推 herstein    :第二種方法算出來的是你研究的Hermitian operator
→ herstein    :不是identity operator...
→ herstein    :不過你的符號有點奇怪~~~
推 herstein    :dk....db? 1 = ∫ dE_k A=∫kdE_k, E_k是eigenvalue
→ herstein    :分部函數
好的
謝謝
我會再想想
※ 編輯: pennyleo        來自: 134.208.23.94        (12/02 22:04)