推 coolbetter33:說不定柯西歐拉eq就是被這樣逆操作創造出來的~ 12/03 20:10
我覺得Cauchy-Euler Equation的代換原理是這樣想的:
考慮一階的情況:
dx
at -- + bx = 0
dt
dx
=> a-------- + bx = 0
(1/t)dt
u
如果令 du = (1/t)dt => u = ln t <=> t = e (t > 0)
=> a dx/du + bx = 0 is homogenerous with constant coefficient.
二階的情況:
2
2 d x dx
at ---- + bt -- + cx = 0
2
dt dt
2
但是 2 d x 2 d dx 2 d dx du 2 d 1 dx
t ---- = t --(--) = t --(-- --) = t --(--- --)
2 dt dt dt du dt dt t du
dt
2 -2 dx -1 d dx
= t (-t ---- + t ---(--) )
du dt du
d dx dx
= t ---(---) - ---- (如果令 u = ln t的話)
dt du du
所以想要把
d dx
--(---) 換成只有u的話,再套一次chain rule:
dt du
2
d dx d dx du 1 d x
--(--) = --(--). -- = ---.---
2
dt du du du dt t dt
2 2
2 d x d x dx
=> t ---- = ----- - ----
2 2
dt du du
則原方程式變成:
2
d x dx
a ----- + (b-a) --- + cx = 0 is homogenerous with constant coefficient.
2
du du
n
n d x
其實如果你令 u = ln t => t ---- = D (D -1)...(D - (n-1))x
n u u u
dt
d
D = ---
u du
Proof: 用數學歸納法
dx dx
n=1 => t -- = -- = D x,成立
dt du u
k
k d x
假設 n=k, t ----- = D (D - 1)...(D - (k-1))x
k u u u
dt
則 n=k+1,
k+1 k k
k+1 d x k+1 d d x k+1 d -k k d x
t ----- = t ---(----) = t ---(t t ----)
k+1 k k
dt dt dt dt dt
根據假設,則
k+1
k+1 d x k+1 d -k
t ----- =t ---[t D (D - 1)...(D -(k-1))x]
k+1 u u u
dt dt
k+1 -(k+1) -k d
= t {-kt D (D - 1)..(D -(k-1))x) + t ---[D (D -1)...(D -(k-1))x}
u u u dt u u u
d
= t ---[D (D -1)...(D -(k-1))x] - k D (D -1)...(D - (k-1))x
dt u u u u u u
= D D (D -1) ...(D -(k-1))x - k D (D -1)...(D - (k-1))x
u u u u u u u
(因為u=ln t => df/dt = (df/du)*(du/dt)=(1/t)(df/du))
= D (D -1)...(D - (k-1))(D - k)
u u u u
= D (D -1)...(D - (k-1))(D - ((k+1)-1))
u u u u
也成立
根據數學歸納法
n
n d x
所以 t ---- = D (D - 1)...(D - (n-1)) 對所有正整數n
n u u u
dt
其實感覺就是你的特徵方程式對不對?
希望有幫到你 ~~
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