→ oldblackwang:g(x)那邊的f(Ai)應該改為f(Ak) 12/05 21:19
→ oldblackwang:順便問一下，如何修改(編輯)文章啊?? 12/05 21:20
→ suhorng :在文章列表按大寫 'E' 12/05 21:26
※ 編輯: oldblackwang 來自: 1.162.63.176 (12/05 21:53)
→ oldblackwang:感謝suhorng大 12/05 21:53
※ 引述《eric314 (愛睏)》之銘言：
: 若 A1,A2,...,An 為n個相異實數，
: B1,B2,...,Bn亦為為n個相異實數且n大於等於2，
: 試證以下等號成立:(英文小寫為下標)
: n
: n Π (Ak+Bi)
: Σ i=1
: k=1 -------------------- =
: n
: Π (Ak-Ai)
: i=\=k
: 1=<i=<n
: n
: n Π (Bk+Ai)
: Σ i=1
: k=1 --------------------
: n
: Π (Bk-Bi)
: i=\=k
: 1=<i=<n
考慮多項式f(x)=(x+B1)(x+B2)...(x+Bn)
假設另一多項式g(x)滿足g(Ai)=f(Ai) for i=1~n
那麼利用lagrange插值多項式可以假設
Π (x-Ai)
n i≠k
g(x)= Σ f(Ak)×------------
k=1 Π (Ak-Ai)
i≠k
那麼會有f(Ai)-g(Ai)=0 for i=1~n
但是deg(f)=n，deg(g)=n-1
所以deg(f-g)=n且首項係數為1
於是f(x)-g(x)=(x-A1)(x-A2)...(x-An)
比較x^(n-1)次項的係數可以得到欲證之式前面就等於
A1+A2+...+An+B1+B2+...+Bn
同樣的方法假設h(x)=(x+A1)(x+A2)...(x+An)
以及k(x)滿足k(Bi)=h(Bi) for i=1~n
就可以得到欲證之式的後面也等於
A1+A2+...+An+B1+B2+...+Bn
故得證
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