※ 引述《ayou7 (小丈丈大帥哥)》之銘言：
: 設 m < 2011 為四位正整數 且 正整數 n < m
: 若 m - n 最多有三個正因數 且 mn 為完全平方數
: 試求 m 值 ?
: 麻煩各位了
大略寫一下
如前面有人提過的 m-n 必須是 1 或者 p , 或者 p^2 for some prime p
Claim: 如果 m,n 正整數, p 正質數, m-n=p, mn 為完全平方數，則 m = ((p+1)/2)^2
證明：如果 n 為不是完全平方數，因為 mn 為完全平方數，所以存在質數 q 使得
q|n, q|m, 因此 q |m-n, q |p, 所以 q = p, p|n, p|m
mn=n(n+p)=p^2 (n/p)(n/p + 1) 為完全平方數, (n/p)(n/p + 1) 為完全平方數
但這不可能
所以 n 為完全平方數, 因此 m = (mn)/n 也是完全平方數, 令 m=a^2, n=b^2
則 p = a^2-b^2 = (a-b)(a+b), a-b=1, a+b=p, m = a^2 = ((p+1)/2)^2 Q.E.D.
CASE m-n=1, 則 n(n+1) 為完全平方，但這不可能
CASE m-n=p
根據 Claim, m=((p+1)/2)^2, n = ((p-1)/2)^2,
當 p = 67,71, 73,79,83 得到 m = 1156,1296, 1369,1600,1764
CASE m-n=p^2
如果 n 是完全平方數，則 m 也是完全平方數, m=a^2, n=b^2
p^2 = a^2-b^2=(a-b)(a+b) , 所以 a-b=1, a+b=p^2
m = a^2 = ((p^2 +1)/2)^2
但 p=7 時 m=625 , p=11, m = 3721, 沒有適當的解
如果 n 不是完全平方數，則存在質數q 使得 q|n, q|m
q|m-n, q|p^2, q =p, 所以 m =pm', n=pn'
因此 m'n' 為完全平方數, m'-n'=p
根據 Claim, m' = ((p+1)/2)^2, n'= ((p-1)/2)^2
m=p((p+1)/2)^2, n =p((p-1)/2)^2
當 p = 17, 19 時, m = 1377, 1900
其實從上面討論來看，我們發現如果沒有加上範圍的限制,
m 的解有下面三種情形
m = ((p+1)/2)^2, n = ((p-1)/2)^2
m = ((p^2 +1)/2)^2, n = ((p^2 -1)/2)^2
m = p((p+1)/2)^2, n = p((p-1)/2)^2
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